叶陆红， 杨海洋

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



一类特殊的Volterra型积分方程的解的存在性

叶陆红， 杨海洋

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文主要应用压缩映像原理讨论了一类特殊的Volterra型积分方程的解的存在性问题，获得解的存在性条件，并举例说明了其应用。

关键词：积分方程；解；不动点；映射

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为积分方程问题。积分方程理论的发展，始终与数学物理问题的研究紧密相连，它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。

“积分方程”一词是雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年，瑞典数学家弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 1899年，弗雷德霍姆在给他的老师米塔-列夫勒的信中，提出如下的方程

1900年，弗雷德霍姆在其论文中把上方程称为“积分方程”，形如

和

的积分方程，依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之处，仅在于它的积分上限是变量x，且σ≤y≤x≤b，此处σ,b是常量。沃尔泰拉积分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核K(x,y)当y>x时为零的情形。最早被研究的一个带弱奇性核的沃尔泰拉积分方程，是阿贝尔方程,它是N.H.阿贝尔于1823年在求一个质点的落体运动轨迹与时间的关系中得到的。

随着计算技术的发展，作为工程计算的重要基础之一，积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有用。 它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至于对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。

解的存在性理论是常微分方程最基本和最重要的理论之一，它一般通过构造逐步逼近函数序列来说明其解的存在性。本文主要应用压缩映像原理来讨论积分方程

(1)

的解的存在性问题，其中f(x)在[a,b]上连续，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续函数，λ为常数。

定义1[1]设R是按距离ρ的度量空间，A是R到自身的一个映照，若存在α∈[0,1)使对一切x,y∈R有ρ(Ax,Ay)≤αρ(x,y)，则称A是R上的一个压缩映照。

定义2[1]设A是R到自身的一个映照，若x∈R使Ax=x，则x是A的一个不动点。

引理1[1]在完备的度量空间中的压缩映照必有唯一的不动点。

引理2[1]设度量空间R完备，B是R到R的映照，若存在一个自然数n，使Bn是R上的一个压缩映照，则B在R中必有唯一的不动点。

定理设f(x)在[a,b]上连续，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续函数，若|λ|足够小，则方程(1)存在唯一的连续解。

证明构造C[a,b]到C[a,b]映射：

B∶φ∈C[a,b]→Bφ∈C[a,b]

其中f(x)在[a,b]上连续，K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续，故有界，即存在正的常数M使|K(x,ξ)|≤M。

∀φ1(x)，φ2(x)∈C[a,b]，当x∈[a,b]，有:

|Bφ1(x)-Bφ2(x)|=

|λ|M(b-a)‖φ1-φ2‖

下面利用归纳法证明：当x∈[a,b]时，有

当n=1显然成立。设上式对n成立，下面证明对于n+1也成立。

事实上，

|Bn+1φ1(x)-Bn+1φ2(x)|=

取自然数n使:

则

α‖φ1-φ2‖

由引理知，方程(1)在C[a,b]中必有唯一解。

注方程(1)解的存在性还可以通过构造逐步逼近函数序列

来证明。

下面举例说明以上定理的应用。

例讨论积分方程

(2)

的解的存在性，其中y(t)∈C[0,1]，λ为常数，|λ|<1。

分析此方程等价于：

z(t)=e-tx(t),ξ(t)=e-ty(t)

令

则

即T是压缩映射，压缩常数|λ|<1，因而T有唯一的不动点，即积分方程

在C[0,1]上有唯一的不动点，因此原方程在C[0,1]上有唯一解。

下面介绍用逐步逼近法求解方程的过程。

定义C[0,1]上映射：

取k(t,s)=et-s，φ0=0，φn=Knφ0，则有

φ1(t)=y(t)

一般地有

所以，kn(t,s)由递推关系确定：

k1(t,s)=k(t,s),

函数列{φn(t)}是[0,1]上的连续函数，并且在[0,1]上均匀收敛于φ*(t)，故对给定正数ε只要取n使

有

即积分方程的第n次逼近解φn的误差小于ε。

参考文献:

[1] 夏道行.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社,2010:68-77.

[2] 张恭庆.泛函分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社,2003: 10 .

[3] 东北师大数学系.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,2005:78-90.

[4] 王高雄.常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,2006:75-89.

[5] 张海，舒阿秀.Banach不动点定理的注记及应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2005，16(4):97-100 .

Existence of Solutions for a Class of Special Volterra Integral Equations

YE Lu-hong， YANG Hai-yang

(School of Mathematics and Compution Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:By means of contraction mapping principle, we discuss the existence of solutions for a class of special Volterra integral equations, and obtain the existence conditions of solutions, and give an example to illustrate its application.

Key words:integral equations, solutions, fixed point, mapping

文章编号：1007-4260(2015)02-0007-03

中图分类号：O175

文献标识码：A

作者简介：叶陆红，女，安徽潜山人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为微分方程理论及其应用。

基金项目：安庆师范学院青年科研 (KJ201107)，安徽省高等学校省级教学研究项目(2012jyxm364)和安徽省高校自然科学研究一般项目(AQKJ2014B010)。

收稿日期：2014-08-28