查淑萍，吴　琼

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



支配数为1的图的最小特征值

查淑萍，吴琼

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文中主要刻画了给定阶数且支配数为1的图类中最小特征值达到极小的图的结构。

关键词：图; 邻接矩阵; 最小特征值; 支配数

图G的一个支配集是图G的顶点集V(G)的一个子集X，使得对V(G)-X中的任一顶点至少与X中的一个顶点相邻,其中顶点数最少的支配集称为图G的最小支配集，而最小支配集中所含的顶点数称为图G的支配数。

关于图的谱半径，已经有了很多的研究结果，而近年来，有很多研究者也在关注图的最小特征值的研究，尤其是刻画某图类中的极小图，如Bell[1,2]等刻画了给定边数的图中的极小图,Fan等[3]刻画了给定围长的单圈图中的极小图，Liu[4]等讨论了给定悬挂点数的单圈图中的极小图，Petrovic[5]等讨论了双圈图中的极小图。近期也有很多关于支配数和谱半径之间关系的研究，如Clemens[6]给出了Laplace矩阵的谱半径与支配数之间的联系，Stevanovic[7]等刻画了在给定支配数的图类中邻接矩阵谱半径取得最大的图的结构，Feng[8]等确定了当支配数分别为2, 3, 4时谱半径取得最小的树的结构。受这些文献的启发，本文研究最小特征值和支配数的关系, 刻画了支配数为1的图类中极小图的结构。

设x=(x1,x2,…,xn)∈Rn, 则x可视为定义在n阶图G的顶点集V(G)上的一个函数, 对应关系为x(vi)=xi(i=1,2,…,n)。于是, 二次型xTA(G)(x)可表示为

(1)

若x是图G的属于特征值λ的特征向量，则

A(G)x=λx，即

(2)

其中,NG(u)为u在G中的邻域，(2)称为G的(λ,x)特征方程。……