几类特殊和式极限求法的归纳

牛海军

铁岭师范高等专科学校师范学院 (铁岭 112000)

摘 要对和式极限的求法进行了归纳，介绍了利用夹逼定理、利用定积分定义、利用幂级数展开式、利用数项级数收敛性等几种常用的求和式极限的方法。

关键词和式 极限 归纳

求极限是高等数学的重要内容，求和式极限又是其中的一个难点，本文将常用的求和式极限的方法归纳一下。

1利用初等数学中的公式或技巧先求部分和再求极限

这种方法即利用数列中的一些已知的部分和公式或技巧(如裂项、乘系数等)来求和式极限。

例1：求极限

2　利用夹逼定理(即(“两边夹”法则)求和式极限

这种方法是将要求的和式适当放大或缩小，再利用极限的夹逼定理来求极限。例2：求极限：

由夹逼定理，可得

2。

3　利用定积分定义求和式极限

这种方法是根据定积分的概念将某些和式极限化为定积分定义中的积分和，再计算定积分求和式极限。例3 ：

解：

4　利用幂级数展开式求和式极限

这种方法是利用在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中选取适当的x值来求和式极限。例4：求极限

5　利用傅里叶级数展开式求和式极限

这种方法是利用在函数的傅里叶(特别是正、余弦)展开式，在其收敛域内选取适当的x值，即能转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限。例5：求极限

f x= x展开成余

弦级数;

且该余弦级数在区间[−π , ]π上满足狄利克雷充分条件，所以

6　利用(Stolz)定理求和式极限

Stolz定理：若数列{xn}和{yn}满足以下条件：

(1)∃自然数N0，当n> N0时，yn+1> yn；

7　利用等价无穷小替换求和式极限

定理：p, q为两个常数，且q >1−，则

解：由推论 原式

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学(第六版)[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析(上册) 3 版)[M]. 北京: 高等教育出版社,2001.

[3]朱晓红.关于和式极限求法的探讨)[J].武汉工程职业技术学院学报,2007,(3):74-76

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[5]李冬梅.一类特殊和式极限的简便求法)[J].鞍山师范学院学报,2004,6 (4):1-13.

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