李甜

摘 要 本文主要介绍了Taylor公式和几个简单的函数展开式，并针对Taylor公式的应用简单讨论了几个问题，即利用Taylor公式求极限，判断级数的敛散性，进行近似计算，求行列式的值。

关键词 Taylor公式 极限 敛散性 近似计算

中图分类号：O172 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.03.019

Taylor公式是微积分中一个非常重要的内容，它是分析和研究其他数学问题的有力工具。本文对以往的成果加以探讨，进一步说明Taylor公式的应用。

1 一元函数的Taylor公式

Taylor公式的一般形式为： （） = （） + （）（） + （）2 + … + + （）

其中 （）为拉格朗日余项（<<）或者皮亚诺余项（）。在Taylor公式中如果取 = 0，则Taylor公式变成Maclaurin公式： （） = （0） + （0） + + … + （0<<1）

或者写成

（） = （0） + （0） + + … + + （）

Taylor公式的作用就是在已知函数 （）在某点的阶导数值的情况下，可以用这些导数值作为系数构造一个次多项式（）去近似函数 （）在这一点领域的值，并且给出了两者之间的偏差。

2 Taylor公式的几点应用

2.1 求函数的极限

有些函数的求极限过程非常复杂或者没有办法求解，这个时候就可以考虑运用Taylor公式将函数展开，利用多项式的简单性质求解极限。

例1 求极限。

解：当→0时， ～ ，由Taylor公式知， = + （）， = + （）把两个的高阶的无穷小的代数和仍记作（），所以 = + （） + （） = + （）

即 = =

2.2 求近似值

利用Taylor公式可以对某些函数进行近似计算。

例2 计算1.1准确到。

解：（1 + ） = + + … + + （0<<1，>）

要计算1.1 = （1 + 0.1），可取 = 0.1，为了使误差不超过，则∣∣<<<

所以≤0.00001，解得≥4。因此，取=4，有

1.1≈0.1 + ≈0.095308

2.3 求函数的原函数

若函数 （）在（或某个区间）上连续，则函数 （）在上存在原函数（） = （）， ，但是这个原函数不一定可用初等函数表示。如果用一般的方法不能求出原函数，则可以将 （）进行Taylor展开，那么 （）可表示成幂级数的和函数形式。

例 求 （） = 的原函数

解： = + … + + …

由于它在任意闭区间一致收敛，于是€HO，它的原函数为：

（） = = [] = =

2.4 判断级数的敛散性

在判断级数的敛散性时，可利用Taylor公式将级数通项展开成简单形式，再利用判敛准则进行敛散性判断。

例5 判断级数（）的敛散性。

解：由 = （1 + ） = + + …<

知<，所以 = >0，所以该级数是正项级数。

而

= > =

所以 = < （ ） =

所以收敛，由正项级数比较判别法可知原级数收敛。

2.5 判断广义积分的敛散性

在判断广义积分| （）|的敛散性时，通常选用广义积分（>0）进行比较后通过研究无穷小量| （）|（→+）的阶来有效地选中的值，从而简单地判定| （）|的敛散性（注意到：如果| （）|得收敛，则 （）得收敛）。

例 6 判定广义积分（ + 2）的敛散性。

解：由 = 1 + + + （）

得

| （）| = ∣ + 2∣

= ∣ + ∣

= ∣（1 + ·· + （））+ （1·· + （））∣

= ∣·+ （）∣

因此， = ，因为收敛，所以| （）|收敛，从而（ + 2）收敛。

2.6 计算行列式

有关利用代数知识计算行列式方法很多，但应用微分学的方法计算行列式的却很少见。然而利用Taylor公式求解行列式确实非常有效，下面介绍利用Taylor展式计算行列式。

例7 求阶行列式

解：记（） = ，按Taylor公式在处展开：

（） = （） + （）（） + （） + … + （）

易知

可得（） = ， = 1，2，3，…，时均成立。

根据行列式求导的规则，易知

= （），

= （）（），… ，

= 2（）， = 1

于是（）在 = 处的各阶导数为

（）= （） = （） = ，

（）= （） = （） = …

（）= （） = … （） = …2

（） =

把以上各个导数代入上式中，有

（） = + （） + （）2 + … + +

如果 = ，则有（） = [ + ]；

如果 ≠ ，则有（） = 。

参考文献

[1] 陈传章，金福林.数学分析（下）.北京：高等教育出版社，1986.

[2] 冯平，石永廷.Taylor公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学报，2003.11（4）：65-66.

[3] 王向东.数学分析的概念和方法.上海：上海科学技术出版社，1989.

[4] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999.

[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000.