图像分割的变分模型与数值计算

薛瑞 李然

信阳师范学院（信阳 464000）

摘 要在图像分析与计算机视觉领域中,图像分割技术应用很广，它是一个基础的并且非常重要的课题。现如今，关于变分模型的图像分割方法得到了国内外学者的广泛关注。本文将要讨论图像分割的变分模型与数值计算，主要提出一种快速求解 Mumford-Shah 模型的变分水平集分割方法和C-V 模型。

关键词图像的分割技术 变分模型技术 数值计算

图像分析技术的第一步就是图像分割，图像分割成为计算机视觉的基础，也是对图像理解来说非常重要的组成部分，因此图像分割技术也成为了数字图像处理的基础性难题。

人类在实际生活中获得的大量信息绝大部分来源于视觉的图像信息，这是由于图像信息具有形象、直观、易懂和信息量大的一些特点，所以它成为我们日常生产生活中接触最多的信息种类之一。所谓的图像处理，就是对于一些图像信息，我们需要利用科学手段进行分析、加工和提取，使其满足人们的感官以及其他方面的要求，而这个过程即是处理的过程。那么，我们来介绍一下图像处理的方法，数据的编码和传输是其中之一，其次是平滑、边缘锐化和分割的特征，最后还有特征抽取图像增强、图像识别与理解等。

1　图像分割方法概述

目前，一些特定理论、方法相结合的图像分割方法相继出现，在各学科许多新理论和新方法的提出后，下面我们简要的介绍以下几种分割方法。

(1)基于数学形态学的图像分割

形态学图像分割是为了达到对图像分析和识别的目的，首先要获得图像的对应形状，那么形状的获取就要利用具有一定形态的结构元素去度量和提取，以达到分析和识别的目的。

(2)基于人工神经网络的分割

人工神经网络法具有自学习、自组织和自适应的性能，并且具有较强的非线性映射能力，十分适合去解决那些背景内容不确切、推理准则不明显以及十分复杂的分割情况。可以用训练样本集对神经网络进行训练，目的是以确定节点间的连接和权值, 然后新的图像数据被训练好的神经网络分割，这就是神经网络方法分割图像的基本思路。

(3)基于聚类的分割

聚类分析是多元统计分析的方法之一，也是数据挖掘的一个重要算法；同时它是模式识别中非监督模式识别的一个重要手段。聚类划分算法技术大致上可分为三种方式：模糊聚类，可能性聚类，硬聚类。1.1 基于变分方法的图像分割

给变分图像分割的思想下个定义：那就是在图像中描述一条曲线，该曲线受内外能量的共同支配，内部能量是由图像轮廓自身特性决定的，外部能量是图像特征决定的，我们可以根据物理运动系统中得来的能量泛函来描述这条曲线的所有属性以及它的运动方式；来优化这个能量泛函，最终实现这样的目标，即这条曲线在移动中的能量逐步趋于最小，并最终在所要找的物体轮廓附近停止。

水平集方法是一种表示活动轮廓的方式，也是我们目前常采用的：由于水平集方法的引入，可以使用活动轮廓模型可以处理一些图像分割问题。水平集方法将闭合曲线演化问题转化为更高维空间中水平集函数演化的隐含方程来求解，从而便于处理曲线（曲面）的拓扑结构变化，并具有计算稳定的特点。

1.2 几个经典的变分模型

下面给出两个相关的变分图像分割模型。

(1)Mumford-Shah（M-S）模型

1989 年，一个著名的变分模型被Mulnford 和shah 提出，很多图像分割方法被他们的工作统一，并提出了很多理论和实际问题。

(2)Chan-Vese（C-V）模型

由于 M-S 模型实际应用中存在诸多局限性，大量的学者更多的研究其简化模型，这其中最著名的模型是 C-V 模型。在 2001 年，Chan 和 Vese基于水平集框架，提出了一种高效的模型的方法用来求解二相分片常值 M-S。给定一幅灰度图像， C 为一封闭曲线，则能量泛函

能够重新表示为：

其中，v >0是权重参数，inside ( C )和 outside ( C )分别表示曲线C的内部区域和外部区域；用

这两个常值，来拟合曲线 C 的内部区域和外部区域的灰度值。当闭合曲线C在内部或外部区域时，的值较大，只有曲线达到两个区域边界时，

的值才能达到最小。这样当式子最小化时，就可以将目标边界分离出来。

2　基于水平集的快速变分分割模型

Chan 和 Vese 确实使用了交互最优化方式来求解下面的极小化问题：

详细地，Chan-Vese 极小化能量泛函的主要步骤是：

：

再次：通过求解下面偏微分方程的稳定解，得到

3　数值算法和实验结果

我们并没有采用复杂的逆向差分方法，而是简单使用有限差分方法。在数值实现时，空间偏导数

，进而偏微分方程可以被离散下面的形式：

表示为

这里，

其中，为大于零的参数，我们通常选取非常小的数，从而能够避免上式中奇异性问题的出现。

4　结语

本文对图像分割数值计算的小部分问题进行了研究和总结，从变分模型的实际存在的问题出发，研究这些问题出现的原因并提出新的模型；其次，在水平集框架下，提出了一种快速变分方法来求解Mumford-Shah 模型的和C-V 模型。探讨了通常在求解能量泛函时将会产生的固有局限，即不得不使用交互最优化的方式；同时，将聚类算法整合入变分水平集框架，从而提出了一种新的方式来极小化Mumford-Shah 能量泛函。

变分模型在图像处理和计算机视觉领域中大量产生，使得图像处理和计算机视觉的研究突飞猛进。在今后的研究中，首先应强化这方面的理论基础，研究并试图去解决一些实际需求涉及的理论问题。另外，数值求解过程中的不准确可能会带来求解的不精确，甚导致错误求解，今后应能够分析变分模型数值求解方法中关于稳定性、唯一性、收敛性的证明问题。最后，应能够结合实际需要，将变分模型具体应用到现实生活和生产中，发挥其使用价值。

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（责任编辑：兴安）