陈健夫

(广州大学数学与信息科学学院，广州510006)

循环置换分解定理的一个证明及其应用

陈健夫

(广州大学数学与信息科学学院，广州510006)

[摘要]循环置换分解定理：每一个n元置换π都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积，是置换群理论最基本的定理之一.在一些教材中该定理的证明用了数学归纳法，本文提供了一个直观的证明方法，并给出了置换的一种表示方法以及一道关于穿珠子的排列组合问题的解法.

[关键词]置换； 循环置换分解； 置换群

1引言

2预备知识

定义1有限集的一个一一变换叫做一个置换.

定义2一个有限集的一个把ai1变到ai2，ai2变到ai3，…，aik变到ai1，而且其他元素不变的置换，叫做一个k-循环置换.用符号(i1i2…ik)或(i2i3…iki1)…或(ikik-1…i1)表示.

定义3π=(i1i2…im)和τ=(j1j2…jn)是两个循环置换，如果π和τ不含相同的文字，则称π和τ不相连.

定理1如果有两个置换

那么

定理2n次对称群Sn的阶是n!.

3循环置换分解定理的证明及置换的一种表示方法

在有n个元素的有限集中，对于任意一个置换π，暂时不考虑集中在π下不变的所有元素，现在在其他的有变动的元素中任选一个记为a11，把其在π下的像记为a12；然后把a12的像记为a13，重复这个操作，必然存在正整数k，使得a1k的像是a11…a1k-1中的一个，这是显然的，假设不然，那么会找到无穷个不同的元素，则这个不是有限集，矛盾.还要进一步说明，这个a1k的像就是a11，否则，假如a1k的像是a1p(1

由于该有限集中其他元素都是在π下不变的，那么现在可以得到π的表示了：

根据定理1，容易得出

（3）投喂饲料。春季4、5月份要多投喂一些动物性饲料，如小鱼或轧碎的螺蛳等，一方面是此时对小龙虾要增加营养，以利于抱卵繁殖虾苗，另一方面是有利于河蟹蜕壳生长。……