钟文体

(华南师范大学数学科学学院，广州510631)

华罗庚不等式在Hermite矩阵乘积的特征值估计中的应用

钟文体

(华南师范大学数学科学学院，广州510631)

[摘要]基于华罗庚在研究多复变函数时发现的一个行列式不等式给出Hermite矩阵乘积的特征值的估计.

[关键词]Hermite矩阵； 矩阵乘积； 特征值； 估计

1引言

设A是复数域上的n×n矩阵，这里用′表示A的共轭转置，det(A)表示A的行列式.

2主要结果

当且仅当Z=W时，等号成立.

引理2设A是复数域上的n阶方阵，λ1,λ2,…,λn是A的全部特征根(重根按重数计)，令f(x)是复数域上的次数大于1的多项式，则f(A)的全部特征根为f(λ1),f(λ2),…,f(λn).

引理3设A是复数域上的n阶可逆方阵，其全部特征值为λ1,λ2,…,λn(重根按重数计)，则A-1的全部特征值为,,…,.

这里略去引理2和引理3的证明，因为读者能在众多的参考文献中找到其证明.

由这几个引理，我们可以得到本文的第一个主要结果.

定理1设A和B是n阶可逆Hermite矩阵，设A的所有特征值为λ1,λ2,…,λn，B所有特征值为μ1,μ2,…,μn，记

则对AB任一特征值v，都有|v|∈[m1m2,M1M2].

证分两步来证明这个定理.

(i) 设a是复数，且满足|a|>M1M2，则存在复数s,t使得a=st且|s|>M1，|t|>M2.由引理2,Hermite矩阵

的所有特征值为

Hermite矩阵A的所有特征值λ1,λ2,…,λn都为实数，由假定，有

于是，矩阵

是正定Hermite矩阵.同理，矩阵

于是

|det(aI-AB)|2=|det(stI-AB)|2=s2nt2n|det(I-s-1t-1AB)|2≠0,

从而，矩阵aI-AB可逆，a不是AB的特征值.

(ii) 考虑矩阵A-1B-1.设a∈且满足0<|a|

于是，转化为(i)的情形，由(i)知|det(a-1I-A-1B-1)|2≠0，则

|det(AB-aI)|2=a2n|det(A)|2|det(a-1I-A-1B-1)|2|det(B)|2≠0,

从而矩阵AB-aI可逆，即aI-AB可逆，a不是AB的特征值.

综合(i)和(ii)可知，对AB的任一特征值v，有|v|∈[m1m2,M1M2].

从定理1的证明过程，可直接得到定理2.

定理2设A和B都是n阶Hermite矩阵，A或B不可逆.设A的所有特征值λ1,λ2,…,λn，B的所有特征值μ1,μ2,…,μn，记

则对AB的任一特征值v，都有|v|∈[0,M1M2].

在定理1……