傅新梅,　刘　晴,　李宏亮

(1.浙江外国语学院数学系，杭州310012;　2. 杭州市大禹路小学， 杭州310012)

几类中值定理中间点的分析性质

傅新梅1,刘晴2,李宏亮1

(1.浙江外国语学院数学系，杭州310012;2. 杭州市大禹路小学， 杭州310012)

[摘要]给出了广义Taylor公式、高阶Cauchy中值定理及加权型中值定理中间点的单值性、连续性及可导性的充分条件，并给出了求导公式.

[关键词]Taylor公式； 中间点； 单值； 连续； 可导

1引言

2007年刘龙章、戴立辉、杨志辉[1]讨论了Lagrange中值定理和Cauchy中值定理中间点ξ的单调性、连续性及可导性问题.2009年程希旺[2]则对Taylor中值定理中间点ξ的单值性、连续性及可导性问题进行研究分析.2012年时统业、谢井、李鼎[3]引进一个新函数F(h(x),k)，用较简便的方法讨论了Taylor中值定理中间点ξ的单值性、连续性及可导性问题.

本文主要对广义Taylor公式、高阶Cauchy中值定理及加权型中值定理的中间点的单值性、连续性及可导性问题进行研究.

2引理

引理1(广义Taylor公式[4])设函数f(x)和g(x)在[a,b]上具有n-1阶连续导数，在[a,b]内f(n)(x)和g(n)(x)存在，且g(n)(x)≠0则对任何x∈(a,b)至少存在一点ξ∈(a,x),使

(1)

引理2(高阶Cauchy中值定理[4])设函数f(x)和g(x)在[a,b]上具有n-1阶导数，在(a,b)内具有n阶导数，且g(n)(x)≠0则对任何x∈(a,b)至少存在一点ξ∈(a,x)使

(2)

引理3[5]设函数f(x),g(x)满足

(i) 在区间[a,x]上有定义，且有n-1阶的连续导数f(n-1)(x),g(n-1)(x)，

(ii) 在开区间(a,x)内有n阶导数，且

0

则至少存在点ξ∈(a,x)，使

(3)

其中

3结论

定理1设函数f(x)和g(x)在[a,b]上n+1阶连续可导，且

g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)

在(a,b)内保号(恒正或恒负)，则

(i) 满足(1)式的“中间点”ξ=ξ(x)是x的单值连续函数；

(ii) 满足(1)式的“中间点”ξ=ξ(x)是x的可导函数，当n=1时，其导数为

当n≥2时其导数为

由已知条件g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)在(a,b)内保号(恒正或恒负)，可知φ(x)是单……