张亚楠,　刘长剑

(苏州大学数学科学学院, 江苏苏州215006)

关于凸函数单侧导数的连续性

张亚楠,刘长剑

(苏州大学数学科学学院, 江苏苏州215006)

[摘要]证明了开区间上的凸函数其左导数必定左连续，右导数必定右连续.

[关键词]凸函数； 微积分基本定理； 单侧连续

在数学分析课程的教学过程中，对凸函数性质的介绍是一个重要的知识点. 一个简单而直观的例子是绝对值函数y=|x|. 容易验证它是凸函数, 其两个单侧导数存在并在x=0处间断.我们进一步观察发现，其单侧导数虽然在x=0处间断，但是分别单侧连续. 本文的主要目的就是将该结论推广到一般的凸函数上，即证明如下结论：

定理1设f(x)是定义在开区间I上的凸函数,则其左导数必定左连续，右导数必定右连续. 也即成立

这个定理的结论与[1]中122页推论3(导数极限定理)很相似，但导数极限定理的证明需要拉格朗日中值定理，而对单侧导数而言拉格朗日中值定理不一定成立，所以定理1的证明需要新的方法.我们给出两种证明方法.方法一利用积分的思想而方法二则采用微分的思想.

引理1[3,4]设f(x)在开区间I上连续, 其单侧导数f′-或f′+存在且黎曼可积，则对∀a,b∈I，a≤b，成立

(1)

容易验证开区间上的凸函数满足引理1的条件，因此对凸函数成立(1)式.

定理1的证明(方法1)只证明定理的前半部分；后半部分可类似证明.

(2)

另一方面，由引理1可得

(3)

结合(2),(3)两式，即得结论.

以上是基于积分的证明，下面我们将给出一个基于微分的证明. 首先给出如下引理.