高　升

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

域同态的扩张的个数

高升

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

[摘要]设h:F→Ω是域的同态，E是F的有限次扩域，本文讨论了使h到E上的扩张的个数取得最大值的条件.

[关键词]域； 单同态； 同态的扩张； 可分次数

1引言

设F是任意一个域，E是F的有限次扩域; h:F→Ω是从F到另一域Ω的单同态.本文主要讨论这样一个问题：有多少种方式将h扩张为从E到Ω的单同态？

为了简便，用记号Emb(E,Ω)表示从E到Ω的全部单同态的集合，用Emb(F,h)(E,Ω)表示所有扩张了h的、从E到Ω的单同态的集合，即

Emb(F,h)(E,Ω)={ξ∈Emb(E,Ω)|ξ|F=h}，

其中ξ|F表示ξ到F上的限制映射.这样，本文讨论的问题也就是集合Emb(F,h)(E,Ω)中元素的个数(在一般情况下，E和Ω之间没有包含关系，Emb(E,Ω)和Emb(F,h)(E,Ω)有可能为空集.)

将域扩张E/F的可分次数记为[E∶F]sep，则不等式

|Emb(F,h)(E,Ω)|≤[E∶F]sep

在任何情况下都是成立的(见本文引理5).

现有文献在某些情况下讨论了该不等式等号成立的条件.[1]第224页命题1证明了:当Ω是h(F)的代数闭包时，|Emb(F,h)(E,Ω)|可以取到最大值[E∶F]sep.[2]第20页命题3和[6]第77页定理16都证明了:当Ω是F的一个代数正规扩张且E是Ω/F的中间域时，从E到Ω的F-单同态的个数取到最大值[E∶F]sep.[4]第131页命题3.2给出了当Ω为F的扩域时使E到Ω的F-单同态个数等于[E∶F]的充要条件.[6]第79页推论1证明了：E的F-自同构群Gal(E/F)的阶一定不超过[E∶F]sep，且等式|Gal(E/F)|=[E∶F]sep成立的充要条件是E/F为正规扩张.[7]第142页定理5.2.6给出了当Ω为E在F上的正规闭包时使E到Ω的F-单同态个数等于[E∶F]的充要条件.文献[8]在第135页证明了，若F⊂E⊂Ω，则E到Ω的F-单同态个数一定不超过[E∶F]sep，在适当地选取Ω时可以取到最大值[E∶F]sep.

本文将在一般情况下讨论……