戴志敏,　冯孝周

(西安工业大学理学院, 西安710032)

Bernouli不等式的改进与应用

戴志敏,冯孝周

(西安工业大学理学院, 西安710032)

[摘要]对一般的Bernouli不等式满足的条件作了一个新的限定，利用二项式定理和等比数列的性质并采用分类讨论的思想证明了一个新的Bernouli不等式，由此不等式证明了经济学中的等额本金还款法和等额本息还款法的差异，并利用数值计算实验验证了此差异，从而由此结论给出了针对不同人群的还贷策略.

[关键词]Bernouli不等式； 二项式定理； 等比数列； 等额本金还款法； 等额本息还款法

1引言

Bernouli不等式是数学中的一个重要不等式，在证明一些重要的不等式，如Young不等式，Hölder不等式、几何算术平均不等式等方面发挥着重要的作用[1]. 除此之外，Bernouli不等式在研究函数的单调性、极限、连续以及级数的收敛性等方面都有着广泛的应用[2].Bernouli不等式的一般形式[3]，即下面的引理1.

引理1设x>-1，α<0或者α>1，则有

(1+x)α≥1+αx.

(1)

假若0<α<1，则有

(1+x)α≤1+αx.

(2)

(1) ，(2) 两式成立的充要条件为x=0.

特别地，当α=n∈且n≥1，则成立

1+nx≤(1+x)n.

(3)

进一步假定x>0，由函数ex>1+x, 有

1+nx≤(1+x)n

(4)

更多有关Bernouli不等式的介绍见文献[3-4].

以上谈到了Bernouli不等式在数学上的应用，本篇文章将研究Bernouli不等式如何应用到经济学中两种常见的还款方式，即等额本金还款法和等额本息还款法差异的比较上.

2新的Bernouli不等式及证明

Bernouli不等式(3)和(4)用来比较等额本金还款法和等额本息还款法的差异是不够的，为此需给变量x限定一个新的范围0

定理1设n为大于等于1的正整数，且x满足0

(5)

此不等式的两边取等号当且仅当n=1时成立.

证不等式……