徐业基

(复旦大学管理学院统计学系，上海200433)

具有连续参数的宽平稳随机场的采样定理及应用

徐业基

(复旦大学管理学院统计学系，上海200433)

[摘要]研究具有连续参数的宽平稳随机场的采样定理，并求出它的相关函数；谱密度函数和谱函数的估计式以及它们的一致收敛的速度.

[关键词]宽平稳随机场； 相关函数； 谱密度函数； 谱函数； 采样定理

为方便，本文只讨论具有两元连续参数的宽平稳随机场，其方法和所得结果可以推广到n元的情况.

设{X(s,t),-∞

其中Zx(λ,μ)是正交增量的两元随机函数，且对平面上任意两个Borel可测集s1及s2，成立着

称Zx(λ,μ)与Fx(λ,μ)各为{X(s,t)}的随机谱函数与谱函数.若

则fx(λ,μ)称为谱密度.记{X(s,t)}的相关函数为Gx(s,t).则

y(k,l)=X(kΔ1,lΔ2)，(k,l=0,±1,±2,…)，

则{y(k,l)}是均值为零的离散宽平稳随机场，它的相关函数为Gx(kΔ1,lΔ2).

谱函数为

谱密度为

证由于

Ey(k,l)=EX(kΔ1,lΔ2)=0,

故{y(k,l)}是离散宽平稳随机场，有唯一表示式

故

引理3[1]积分的估计如下：

定理1设{X(s,t),-∞

且上述级数对(s,t)在任意有限区域：|s|≤R,|t|≤T内是均方一致收敛的，且

(1)

应用不等式：

|akbl-ab|2=|(ak-a)(bl-b)+b(ak-a)+a(bl-b)|2

≤3|ak-a|2|bl-b|2+3|b|2|ak-a|2+3|a||bl-b|2.

再由引理3即得定理1的证明.

下面讨论定理1的应用

定理2设{X(x,t)}是实的宽平稳随机场，满足定理1的条件，则它的相关函数Gx(s,t)有下列估计式：

这里

,

E(kΔ1,lΔ2)=Gx(kΔ1,lΔ2).

证由定理1及Gx(kΔ1,lΔ2)的谱分解得

下面用定理1的证法和引理3，即可证明定理2.

定理3设{X(s,t)}是实的宽平稳随机场，满足定理1的条件，记

y(k,l)=X(kΔ1,lΔ2),(k,l=0,±1,±2,…),

(2)

其中

若进一步设

存在且有界，则

(3)

证由引理1和引理2得Gy(k,l)=Gx(kΔ1,lΔ2)及

即得(2).若进一步设

存在且有界，利用Gy(k,l)的谱分解

对积分进行p+q次分部积分(可参看[2])即得(3)式.

定理4设{X(s,t)}是实的宽平稳随机场，满足定理3的……