王　鑫,　邢文雅,　李胜军

(海南大学信息科学技术学院, 海口570228)

广义浅水波方程新的行波解

王鑫,邢文雅,李胜军

(海南大学信息科学技术学院, 海口570228)

[摘要]通过利用新的G展开法，并借助Mathematica计算软件，研究了广义浅水波方程的精确解，获得了该方程的含有多个任意参数的新的显式行波解，分别为三角函数解、双曲函数解、有理函数解和指数函数解，扩大了该类方程的解的范围.

[关键词]广义浅水波方程； 新的G展开法； 行波解

1引言

本文研究广义浅水波方程[1-2]

uxxxt+αuxuxt+βutuxx-uxt-uxx=0，

(1)

其中α,β为任意非零常数且α+β≠0.此方程是在经典浅水波理论中用Boussinesq逼近法得到的，它常用于描述浅水波在(1+1)维空间中的运动规律.Clarkson and Mansfield在文献[2]得到了该方程的完全可积的充分必要条件是α=β或α=2β，且用反散射法验证了此时的可解性；文献[3]证明了当α=β或α=2β时，此方程能表示成Hirota’s的双线性形式；文献[4]运用Backlund变换的变量分离法求出了该方程的含有低维任意函数的变量分离解.

2新的G展开法

对于非线性偏微分方程

(2)

(3)

设方程(3)的解有如下形式

(4)

(5)

这里λ，μ及δ为任意常数.对于此方程，通过借助Mathematica软件，可求得其以下几种解的情况，

(6)

这里C1，C2为积分常数.

(7)

这里C1，C2为积分常数.

(8)

这里C1，C2为积分常数.

④ 当λ=-1且μ≠0时，方程(5)的解为

(9)

这里C1，C2为积分常数.

⑤ 当λ=-1且μ=0时，方程(5)的解为

(10)

这里C1，C2为积分常数.

3广义浅水波方程新的行波解

设方程(1)有行波解

u=u(ξ)=u(x-ct)，

其中c表示波速，是一非零常数，从而方程可化为

将方程两边关于ξ积分并化简，得

(11)

其中M为任意常数.设广义浅水波方程(1)的解能够表示成多……