李新鹏，德娜·吐热汗，腾　叶，吴黎军

(1.新疆农业大学 数理学院，新疆 乌鲁木齐，830052；

2.石河子大学 理学院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐，830046)



LINEX损失函数下具有风险相依结构的信度模型

李新鹏1，德娜·吐热汗1，腾叶2，吴黎军3

(1.新疆农业大学 数理学院，新疆 乌鲁木齐，830052；

2.石河子大学 理学院，新疆 石河子，832000；

3.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐，830046)

摘要：在经典信度理论中,运用平方损失函数来估计保费会导致很高的惩罚额,影响保险市场的竞争力;另一方面,经典信度理论假设一个保单组合的每个保单索赔额间互相独立；但在实际应用中,各个保单索赔额间却是风险相依的.采用LINEX损失函数，将温利民等人在2012年提出的一个保单各年索赔额间具有时间变化效应的风险相依结构推广到一个保单组合的各个保单索赔额间,并且给出了LINEX 损失函数下具有风险相依结构的Bühlmann模型的信度保费和LINEX损失函数下Bühlmann模型的信度保费.

关键词：信度模型；LINEX损失函数；风险相依结构

在保险精算中,信度理论是最重要的保费厘定技术,现代信度理论起源于Bühlmann,在他的文章中得到任意分布下的净保费信度估计.信度理论是利用往年索赔记录来预测下一年索赔情况的一种定量方法,得到的保费为样本均值和聚合保费的加权和[1].

经典信度理论中,总是用平方损失函数来估计保费,但使用平方损失函数会导致很高的惩罚额,尤其不利于小额风险事故的投保人,这势必会影响保险市场的竞争力.针对这一问题,20世纪70年代许多学者注意到过高估计或过低估计引起的损失并不相同,于是引入了非对称损失函数.在某些情况下,使用平方损失函数所估计的保费不准确,这一点在许多文章中都给出了实例,如Berger[2],Varian[3].

Varian于1975年提出了一个非对称损失函数,被称为LINEX损失函数(线性指数损失函数),如下:

(1)

经典信度理论中假定在风险参数给定下,一个保单组合的每个保单索赔额之间独立同分布,然而在实际应用中,考虑各个保单间风险相依结构的信度模型与实际更符合.不同保单的索赔额间具有风险相依结构,不同风险间具有相关结构,如同一次交通事故可以导致多次索赔,地域临近的房屋面临共同的火灾风险等.温利民等[7]在2012年运用平方损失函数研究了一个保单各年索赔额间具有时间变化效应的信度模型,得到相应的信度保费,Yeo和Valdez[8]在2006年提出了具有共同效应的信度模型,并在索赔额服从正态分布条件下推出了信度保费,温利民等[9]在2009年研究了各个保单索赔额间具有共同效应的信度模型,得到了信度保费,黄维忠等[10]在2012年给出了平衡损失函数下各个保单索赔额间具有共同效应的信度保费[10].

本文既考虑了风险间的相关性,又考虑了保费制定的公平性、合理性.因此,采用LINEX损失函数,将2012年温利民等人提出的一个保单各年索赔额间具有时间变化效应这一风险相依结构推广到一个保单组合的各个保单索赔额间,研究了在这种风险相依结构下的信度模型,得到了相应的信度保费.

1　模型预备知识

在经典信度理论中,假设K个保单构成一个保单组合,每个保单的风险参数为Θ,在Θ给定下,每个保单之间独立同分布,对于第i个保单,它的过去n年索赔额为Xi1,...,Xin,但与经典信度理论不同的是,本文假设每个保单有各自的风险参数,这些风险参数为Θ1,...,ΘK,且这些风险参数具有某种相依结构,假设如下:

假设2保单i的风险参数Θi的分布函数为πi(θ),且E[μ(θi)]=μ,E[v(θi)]=vi,

(2)

引理1在由式(1)给出的LINEX损失函数下,第i个保单的基于样本X的下一年保费的最优估计为：

(3)

引理2在假设1和假设2下,有以下结果:

(ⅰ)Yij的均值为：E(Yij)=μ,i=1,···,K,j=1,···,n+1

(ⅱ) Yi,n+1与Y的协方差为：Cov(Yi,n+1,Y)=τi(τ1,…，τk)⊗1n′，其中1n为每个元素均为1的n×1列向量,⊗为矩阵的Kronecker积.

(ⅲ)Y的协方差矩阵为：Cov(Y,Y)=diag(viMi,i=1,2,…，K)+[(τ1，…，τkj⊗1n][(τ1，…，τk]⊗1n′]

其中:

为对角矩阵.

证明(ⅰ)根据条件期望公式,得证.

(ⅱ) 对保单i和s,索赔时间t,i,s=1,...,K,t=1,...,n,由假设1和假设2可得:

所以，

(ⅲ) 对保单i和s,索赔时间j,t,i,s=1，…，K,j,t=1,…,n,由假设1和假设2以及条件期望公式可得:

(ⅳ) 由矩阵求逆公式(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1可得[11]:

2　LINEX损失函数下Bühlmann-Straub模型的保费估计

由引理1知,要估计LINEX损失函数下的信度模型的保费,需先估计E(e-αXi,n+1|X),为此令f(X)=E(e-αXi,n+1|X),我们也将估计限定在Yij,i=1,...,K,j=1,...,n的线性组合中, 则f(X)为下述问题的最优解:

(4)

定理1在假设1和假设2下,求解最优化问题(4),得到f(X)的最优估计为

则第i个保单在LINEX损失函数下具有风险相依结构的Bühlmann-straub模型保费估计为

证明最优化问题(4)等价于

MinA,BE[f(X)-A-BY]′[f(X)-A-BY]

(5)

由引理1知，第i个保单在LINEX损失函数下具有风险相依结构的信度保费估计为

注记3由于结构参数(τi,vi)较多，假设τi=τ,vi=v,i=1,2，…，则结构参数μ的无偏估计为：

3　结束语

本文研究了LINEX损失函数下具有风险相依结构的Bühlmann-Straub信度模型,得到了相应的信度保费,推广了Bühlmann和Bühlmann-Straub模型,并且运用所得的结论给出了LINEX 损失函数下具有风险相依结构的Bühlmann模型的信度保费和LINEX损失函数下Bühlmann模型的信度保费,也给出了基本结构参数μ,τ2,v,的无偏估计.

参考文献：

[1] Bühlmann H, Gisler A. A course in credibility theory and its applications[M]. Netherlands:Spinger, 2005:77-264.

[2] Berger J O. Statistical Decision Theory: Foundations, Concepts and Methods[M]. New York: Academic Press, 1980.

[3] Varian H R. A Bayesian approach to real estimate assessment[C]// Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J Savage. Amsterdam，1975:195-208.

[4] Parsian A. On the admissibility of all estimator of a normal mean vector under a LINEX loss function[J]. Ann Inst statist Math, 1990, 42:657-669.

[5] Wen L M, Zhang X K, Zheng D,etal. The credibility models under LINEX loss functions[J]. Chin.Quart.J. of Math, 2012, 27(3):397-402.

[6] 李新鹏,努尔古丽·艾力,吴黎军. LINEX损失函数下具有时间变化效应的信度模型[J].重庆理工大学学报：自然科学版,2014,28(6):135-138.

[7] 温利,郑丹,章溢. 具有时间变化效应的信度模型[J]. 江西师范大学学报:自然科学版, 2012,36(3): 249-252.

[8] Yeo K L, Valdez E A. Claim dependence with common effects in credibility models[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2006, 38: 609-629.

[9] Wen L M, Wu X Y, Zhou X. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44: 19-25.

[10] Huang W Z, Wu X Y. The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2012, 28(2):203-216.

[11] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M]. New York: Springer, 1995.

(编辑：姚佳良)

Credibility models with risks dependence structure under LINEX loss function

LI Xin-peng1， TUREHAN Dena1， TENG Ye2， WU Li-jun3

(1.College of Mathematics and Physics, Xinjiang Agriculture University, Urumqi 830052, China;

2. College of Sciences, Shihezi University， Shihezi 832000, China;

3．College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Abstract:In classical credibility theory, the actuary uses squared-error loss function to estimate premium, but it can lead to very high penalties which affects the competitive strength of insurance market. On the other hand, classical credibility theory assumes that the claim amounts of every insurance policy in a portfolio are independent, however, the claim amounts of every insurance policy are risks dependent. Wen et al.(2012)studied the credibility model with time changeable effects among the claim amounts of one insurance policy and obtained credibility premium, this risks dependence structure was generalized to the claim amounts of every insurance policy. The Bühlmann-Straub model was considered with risks dependence structure among every insurance policy under LINEX loss function and the credibility premium formula which generalized the classical credibility model is obtained.

Key words:credibility models; LINEX loss function; risks dependence structure

中图分类号：O211.2

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2015)04-0011-05

作者简介：李新鹏,男, news20060801015@126.com

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11361058)

收稿日期：2014-10-03