董　雪

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266510)



非线性分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性

董雪

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266510)

摘要：关于脉冲的非线性分数阶微分方程初边值问题已有研究，但细节过程仍存在问题.证明了一类非线性分数阶脉冲微分方程在混合边界条件下解的存在性，结果的证明主要依据了schaefer不动点定理.最后举例说明了所得结果的正确性.

关键词：非线性分数阶微分方程；脉冲；混和边值问题；不动点定理

目前，非线性分数阶微分方程边值问题已经引起许多研究者的注意.分数阶微分方程作为一种系统和流程的数学模型出现在许多工程和科学学科领域，如物理、化学、控制理论、生物学、经济学、血液流动现象、信号和图像处理、空气动力学、实验数据拟合等等.关于详细资料可参考文献[1-7].脉冲微分方程给出了观察进化过程的一个自然的描述，作为一个重要的数学工具可更好地理解应用科学中许多现实问题.目前，整数阶脉冲微分方程边值问题已经被广泛的研究，如文献[8-11].但是，很少有文章考虑关于分数阶的非线性脉冲微分方程边值问题.

本文中我们研究下述非线性分数阶脉冲微分方程混合边值问题解的存在性.

(1)

1　预备知识

为了证明主要结果，本章节介绍一些文中所要用到的预备知识.

定义1阶为q的函数f:[0,]→R的分数阶积分公式定义为

(2)

定义2分数阶为q的函数f:[0,]→R的Caputo导数公式定义为

(3)

式中[q]记为实数q的整数部分.

引理2令q∈(1,2)且h:J→R是连续的.函数u给定如下:

(4)

为下面脉冲问题的唯一解.

(5)

2　主要结果

本章节我们证明问题(1)解的存在性.

定理1假设

(A1) 函数f:J×R→R为连续函数，且存在常数N1>0使得

(A2) 函数Ik,Jk:R→R为连续函数，且存在常数N2,N3>0使得

则问题(1)至少有一个解.

证明第一步：定义算子T:PC(J,R)→PC(J,R)如下:

t∈(tk,tk+1],j=1,2,…,p,k=0,1,2,…,p-1.

本评分模型纳入预后因素时未加入双磷酸盐的使用，原因是本研究中几乎所有骨转移患者皆使用过双膦酸盐，且双膦酸盐的使用对骨转移患者预后的影响已基本明确，已成为常规治疗方案[14]。本评分模型的缺点在于只基于一家医疗机构的数据，存在选择偏倚，且纳入因素有九个之多，准确性和实用性尚需更大样本数据的检验，需要本机构和其他医疗机构在日后临床工作中进行实践，不断改进，更加准确的指导临床。

因为f,Ik,Jk为连续函数，所以当n→时有‖Tun-Tu‖→0.所以，T:PC(J,R)→PC(J,R)是连续的.

由(A1)和(A2)可得，对于任意的t∈J有

第三步：令Ωρ为如第二步中所定义的PC(J,R)上的有界集合，且令u∈Ωρ，则对于任意的t∈Jk,0≤k≤p有

因此，令t″,t′∈Jk,t′

所以，在Jk(k=0,1,2,…,p)上T(Ωρ)是等度连续的.因此，综上可得T:PC(J,R)→PC(J,R)是全连续的.

根据条件(A1)和(A2)可得，对于任意的t∈J有

因此，对于任意的t∈J有

所以集合V是有界的.所以由引理1可得算子T有一个不动点即为问题(1)的一个解.

3　举例

(6)

参考文献：

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[2] Wang G T,Ravi P, Alberto C,etal. Existence results and the monotone iterative technique for systems of nonlinear fractional differential equations[J]. Applied Mathematics Letters, 2012, 25(6): 1019-1024.

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[10] Nieto J J, Lope R R. Boundary value problems for a class of impulsive functional equations[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2008, 55(12): 2715-2731.

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[12] Sun J X. Nonlinear functional analysis and its application[M]. Beijing: Science Press, 2008.

(编辑：姚佳良)

Existenceofsolutionsforimpulsivenonlinear

fractionaldifferentialequationsboundaryvalueproblems

DONGXue

(CollegeofMathematicsandSystemScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,China)

Abstract:The initial value problems and boundary value problems of impulsive nonlinear fractional differential equations had been studied,but there were still some details which were not appropriate. We proved the existence of solutions for an impulsive mixed boundary value problem of nonlinear differential equations of fractional order. Our result is based on schaefer′s fixed point theorem. Finally, an example was presented to illustrate the result.

Key words:nonlinear fractional differential equations; impulse; mixed boundary value problem; fixed-point theorem

中图分类号：O175.8

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2015)04-0070-05

作者简介：董雪，女，dx929wdl66@163.com

收稿日期：2014-11-14