陶磊

[内容摘要]高中数学对学生来说很重要，教师应教导学生在解题时追求“自然”的思路，以促使解题高效化，有效提高学生的学习兴趣。本文主要研究如何实现高中数学解题中所追求的“自然”思路，并提高解题有效性。

[关键词]“自然”思路;高中数学;解题

目前，教师在进行解题教学时，常喜欢变换不同的教学方法，以突破常规教学方法的限制，促使学生产生更多的思考，并有效提高其求知兴趣。相关教学研究表明：学生虽能进行解题，但解题思路并不清晰，亦不“自然”;如果题目形式稍有改变，学生就难以灵活解答，从而使解题效率降低。所谓“自然”思路，即把解题规律探析置于首位，通过淡化解题技巧的使用，加之注重解题中的贯通性，追溯至题目本源，进而促使贴近实际的新型解题方式，起到有效提高解题能力的作用。

一、返璞归真

高中数学常使用的基本解题方法包括：代入、消元、解方程组、待定系数法等;此类方法不仅易增加学生的联想发散性，而且能提高解题时操作的效率，促使解题思路“自然”化。比如：已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，求ab+bc+ca的最小值。多数学生看到该题时首先想到的解题思路是解基本不等式，通过求解ab+bc+ca≤a2+b2+ c2可以得出上述式子的最大值，但此结果与题意背离，无法解出答案;学生继续思索，随即想到三角代换方法，但此类方法较复杂，且学生无法完全掌握。实际上，就题目本身而言即为一个三元方程组，学生只需把其解出即能完成解题的要求;然而，为什么学生无法想到如此基本又简便的方法呢？可能因为学生的解题思路已被书本中特有的模式所圈套住，从而使解题进入盲区，无法发现题目中所包含的基础性信息。教师应从上述现象中吸取教训，以改变学生的思路想法为主要目的，培养学生积极分析基础解法，使其从解题的惯有模式中逃出。历来大型考试时，出题均围绕基础知识，只是在其基础上进行深化和改变，实则是平凡常见的题目;学生应积极掌握“自然”思路的使用方法，从而有效减少解题时间。

二、追本溯源

高中数学解题时应追溯题目的源头，这有助于“自然”思路的形成;为了顺利解决问题，首先应理解题目中已知条件的作用以及问题的方向，并进一步思考此类题目针对的是哪类知识点和方法，加之详细研究所运用知识点的具体特征，进而通过充分了解问题本质，促使解题方向回归定义，目标更加确切，具体执行方法如下：

1.掌握本质

例1.直角坐标平面有一点列：P1（a1，b1），P2（a2，b2）至Pn（an，bn），且其对于任意n∈N+上的点均有意义，Pn（an，bn）位于y=ax（a>0，且a≠1）上，并且Pn、（n，0）与（n+2，0）三点能构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。在此基础上求点Pn的纵坐标bn，并假设数列{bn}的前n项和表示为Sn，试问常数t是否存在？且能使数列{Sn-t}成为等比数列。

教师可使用“自然”思路对学生进行教学，由题目可知bn=an+1，且加之bn+1/bn=a，即可得出Sn=[a2（1-an）]/1-a;问题即迎刃而解，但是仍有较多学生无法想到此类方法，促使解答复杂化，从而提高解题难度，增加解题时间。通过教师的观察与分析，学生在解此类题时可能会使用下述方法：首先，通过对存在的常数t进行假设，使数列{Sn-t}成为等比数列，即可发现Sn+1-t/Sn-t为常数;其次，通过将Sn与Sn+1代入方程，进而可以使用待定系数法予以解答，但此方法步骤较为繁琐，多数学生无法完成。此时教师应根据学生所使用的方法积极进行思路引导，解答此题时应设目标为源头，为了满足题目要求，应先列出Sn-t=[a2/（1-a）]-[an/（1-a）]-t，再通过分析等比数列的通项形式，即a1qn-1，发现等比数列即为常数与指数函数的乘积，对比上述式子可得（a2/1-a）-t应等于0，且在q=a时才成立，随即可解出常数t=a2/（1-a）;再进一步进行验证得出当t=[a2/（1-a）]时，Sn+1-t/Sn-t=a，即得以证实存在一个常数t使{Sn-t}为等比数列。上述所使用的方法主要是依靠题目“本质”的掌握，进而从本质上得以升华，灵活使用基础性知识，为解题找到新型思路。

2.关注目标

例2.在三角形ABC中，角A为120度，且a+c=20，a+b=24，求a是多少？

根据详细分析得出，题目已知三角形的三边关系与其中一个角的度数，看似给出的信息较多，实则不是每一项均有作用，学生常因条件的多样而无法找到主要思路，从而耽误解题时间。教师应有针对性地引导其专注于目标分析，此题所求为a的数值，则很容易想到应消除等式中多余的b与c;因此，根据基础性三边定理中的余弦定理即可得出a2=（24-a）2+（20-a）2-2（24-a）（20-a）cos120°，通过化简可解得a=14。由此，可表明当无法看清题目方向时，应根据题目条件或结论作为依据，有效通过目标性的分析，并实施合理的公式变形运用，从而有效减少解题中出现弯路，提高解题效率。

三、紧扣特征

学生解决问题时常从正面理解角度出发，仅依旧条件所提供的信息进行分析思考，其实，解题时应实施变化性的解题策略，通过“自然”性思路，使常用方法进行转换，从而有效解答特殊化、复杂化类型的试题，进而加强学生的解题应变能力。

1.正难则反

例3.一个三边长分别为5、7、8的三角形，其最大与最小角之和为多少？

依据上述问题进行详细剖析，学生应使用“自然”思路，从问题的正面方向出发;通过假设5、7、8三边所对应的角为角A、B、C，即可得出cosA的值，但仍不能得出答案;随即应从反面进行思考，由于角B为角A与角C之和的补角，则可通过求cosB而得出答案，即角B为60度，由此可推出最大与最小角之各和为120度。教师在此应引导学生切勿仅使用正面解题方式，而忽略反面解题的重要性，有时仅转换一下解题角度，即可离答案更进一步，从而提高反向思维能力。

2.特殊化法

例4.在锐角三角形ABC中，角A、B、C分别对应边a、b、c，且已知b/a+a/b=6cosC，求tanC/tanA+tanC/tanB的值。

对本题进行剖析，因本题为填空题，不需使用较为复杂的解答方法，避免时间的浪费，但学生常会被题目信息所误导，不知解题时应使用特殊三角形还是等边三角形或是等腰三角形，从而为解题带来较大困难。教师应做好引导工作，要求学生仔细阅读题目，因此不难发现题目中还有一个重要条件即为b/a+a/b=6cosC，根据此条件可以得出本题所涉及的三角形为等腰三角形;且又可由条件得出a=b，即cosC=1/3，随之可求出2cos2（C/2）-1=1/3;又因角A与角C/2互为余角，即可得出sinA=cos（C/2），随之可得出tanC/tanA+tanC/tanB=2tanC/tanA。由上述方法可得出，教师在讲解选择或填空等分值较小的题目时，应积极引导学生使用特殊性方法，从而有效分析此类题目的主要目的;能通过出题目的，有针对性地解题，以弄清题目中所含逻辑关系，再经过一般方法的验证，促使解题理想化，并有效加强学生对“自然”思路的理解和应用，使其加快解题速度，提高解题兴趣。

总之，高中数学教学中教师应积极引导学生使用“自然”思路解题，并通过掌握题目本质、关注解题目标以及紧扣题目特征等三方面的详细讲解，促使学生提高解题效率，从而形成良好的学习氛围。

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（责任编辑 冯 璐）