洪樱

[摘 要]

通过分析一道高考题的解题障碍，得出教学启示，并以解析几何的教学为例，谈了渗透数形结合思想的三个方法。

[关键词]

教学指向;为数配形;形数互化

高三一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》的时候，我挑选了2013年高考江苏卷17题作为例题。

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4.设圆C的半径为[1]，圆心在l上。

（I）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程。

（II）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

从当堂反馈来看，学生在第一小题上没有障碍。而在解第二小题的过程中，多数同学能由MA=2MO得出阿波罗尼斯圆的方程，但未意识到轨迹为几何图形，只是专注于点M同时在两条曲线上，故而联立方程组[x2+（y+1）2=4（x-a）2+（y-2a+4）2=1]消去x或y，将问题转化为一元二次方程，试图用代数方法求解，然后受困于此，解题走向死胡同。

在我提醒从“形”的角度思考方程组后，学生们恍然大悟“圆[C]与阿波罗尼斯圆”有公共点，然后他们顺利地写出了以下的求解过程：

因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为[（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1].

设点M（x，y），由MA=2MO，知：[x2+（y-3）2=2x2+y2]，化简得：x2+（y+1）2=4. 所以点M的轨迹是以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆。

又因为点在M圆C上，所以圆C圆D的关系为相交或相切，则[2-1≤CD≤2+1]，其中[CD=a2+（2a-3）2]。

解之得：[0≤a≤125]。

所以点[C]的横坐标a的取值范围为[0，125]。

确实，2013年的考生走出考场后有较多人反映第17题的第二小问比较困难。事实上，此题相较于此前三年高考考的椭圆问题大大降低了计算难度，侧重考察函数与方程思想、数形结合思想。为什么多数学生解不出第二小问呢？主要原因是学生没有深入理解数学的基本思想，不能将其灵活运用于解题实践。……