陶继智

函数与方程的思想方法、转化与化归的思想方法、数形结合的思想方法、逻辑划分的思想方法等，是中学数学的基本思想方法。如果说数学方法是数学思想的具体体现形式的话，那么，数学思想就是妙解数学问题的灵魂。本文就数学思想方法解决自主招生和数学竞赛中的几个热点问题之应用谈点体会。

一、多项式与方程问题

多项式与方程的零點问题一直是自主招生考试中的一个热点问题，因为它

特别能体现各种代数知识点的交汇，如韦达定理﹑零点存在定理﹑整数系数多项式的根及其推论﹑函数性质﹑三角问题等，这类问题常常能体现考生的数学代数功底，因此颇受命题老师的青睐。解决此类问题常常通过换元的手段，运用函数与方程﹑数形结合﹑逻辑划分等数学思想方法，等价化归为已知问题求解。

[例]（2008年北京大学自主招生）：已知

[评析]本例结合条件联想到韦达定理利用函数与方程的思想构造函数，使

问题得以顺利进入求解过程，结合函数的特点利用数形结合的思想使得以顺利求解。

二、恒成立问题

恒成立问题由于涉及常见函数的性质、图象﹑导数﹑不等式等重要知识点，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此它不仅在近年来高考中频频出现，也是自主招生和数学竞赛中的重要考点。恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。……