在解决实际问题时，我们常常需要构建诸如函数模型、数列模型等数学模型，在解决排列组合的应用问题时，我们也要将一些具体问题数学化、一般化、规律化，即建立一个模型来求解某一类问题.搞清楚问题的实质，有利于培养我们的抽象能力、概括能力、数学建构的能力.本文通过例题来辨析插空模型的各种不同解决方法.

■一、不同元素互不相邻——排列问题中的插空

■例1 有4名学生和3名老师排成一排：

（1）（直接插空）？摇3名老师两两不相邻，有多少种不同的排法？

解：第一步，先将4名学生进行全排列，共A■■种不同的排法，第二步，排老师，因老师不相邻，所以插空安排共A■■种不同方法，故排法总数为A■■A■■=1440.

（2）（相间插空法）师生相间排列，有多少种不同的排法？

分析：由题意知，学生两两不相邻、老师也是两两不相邻，故比第（1）题多了一个限制条件，此时两类元素都插空，故只能在连续的几个空位处插空.

解法1：先排3名老师，有A■■种方法，再在4个空位处排4名学生，有A■■种不同排法，故排法总数为A■■A■■=144.

解法2：先排4名学生，后排3名老师，有A■■A■■=144种方法.

变式：若4名学生中的甲、乙、丙和3名老师排成一排，且师生相间，有多少种不同的排法？

解：先排3名老师，有A■■种方法，再在4个空位中的前3个或者后3个中排甲、乙、丙3名学生，故排法总数为A■■（A■■+A■■）=72.

（3）（顺序一定条件下插空） 4名学生甲、乙、丙、丁顺序已定（不一定相邻），有多少种不同的排法？

解法1：（分类）第一类：三个老师两两不相邻，插空，有A■■种不同方法；第二类：三个老师有两个相邻，有C■■A■■A■■种不同方法；……