胡文丽，梁 林，包 弘

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南楚雄675000）

双曲螺线的副法线曲面的相关性质研究*

胡文丽，梁 林*，包 弘

（楚雄师范学院数学与统计学院，云南楚雄675000）

本文以双曲螺线生成的曲面为研究对象，讨论了三维欧氏空间中双曲螺线的副法线曲面的几何性质，获得了双曲螺线的副法线曲面的渐近曲线、曲率线、法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率、常高斯曲率曲线、极小轨迹等，并给出了简单应用。

双曲螺线；副法线曲面；第一基本形式；第二基本形式；主曲率

微分几何是以数学分析的方法为基础来研究曲线、曲面的学科，主要讨论曲线或曲面上某一点邻域的几何性质。副法线曲面的性质是近年来新的研究热点［1-3］.袁媛、刘会立在文［2］中讨论了特殊曲线的副法线曲面以及由此特殊性而得到的相关结论。受此启发，本文讨论了双曲螺线的副法线曲面，给出了双曲螺线的副法线曲面的相关几何性质.

1.预备知识

副法线曲面是由曲线r→（t）的副法线生成的直纹面.设γ→（t）为曲线r→（t）上任意一点P的副法向量，则曲线r→（t）的副法线曲面∑为

相应地，曲面r→＝r→（u，v）的第一基本形式、单位法向量、第二基本形式分别为

2.主要结论

定理1 双曲螺线r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝，a＞0的副法线曲面的微分方程为

证明 由r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝得

r→′＝｛a sinh t，a cosh t，a｝，r→″＝｛a cosh t，a sinh t，0｝，r→′×r→″＝｛-a2sinh t，a2cosh t，-a2｝，

证明 由r→（t）＝｛a cosh t，a sinh t，at｝得

定理3 双曲螺线的副法线曲面的第一基本形式为

定理4 双曲螺线的副法线曲面的第二基本形式为

证明 由

定理5 双曲螺线的副法线曲面的渐近曲线的方程为

证明 双曲螺线的副……