【摘 要】以苏科版初中数学“图形的平移”教学实践为例，基于课程标准的教材理解与分析、教学设计思路与说明、教学过程实录与点评，初步感悟活动经验的积累是发展学生几何直观的有效路径，发展学生的几何直观需下放“做权”和“学权”，方能体现学生的主体性。

【关键词】七年级数学；图形的平移；教学实践；几何直观

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）14-0040-04

【作者简介】孙朝仁，江苏省连云港市教育科学研究所（江苏连云港，222000）所长，江苏省特级教师，苏科版初中数学教材编委。

一、教材理解

图形的变化是“图形与几何”部分的重要内容，它包括图形的平移、旋转和轴对称，三者之间相互关联。其中“图形的平移”是苏科版《数学》七年级下册7.3节的内容。关于“图形的平移”，在生活中的应用俯拾皆是，借助学生的活动经验，能有效发展学生的几何直观能力。

教师针对教学问题所在，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《标准》”）第一学段中的要求是：“感受具体情境中的平移现象；能辨认简单图形平移后的图形。”小学三年级学生就能判断电梯的上下运动、火车车厢的直线运动与汽车方向盘的运动、钟摆的运动不同，前者是平移，后者是旋转。在小学低年级设置图形的平移，有两个目的：一是孕育“空间观念”的萌芽；二是认识图形的运动有多种方式（平移、旋转、轴对称）。《标准》在第二学段的要求是：在方格纸上，经历观察和操作能识别图形的平移，并能按水平或垂直方向将简单的图形平移；能从平移的角度欣赏生活中的图案，并运用它在方格纸上设计简单的图案。小学四年级学生就能还原被打乱的几块积木或几幅图画的平面画面（方格纸上），并用平移或旋转记录还原的步骤。在小学高年级设置图形的平移，有两个目的：一是发展初步的“几何直观”；二是让学生感悟图形的运动是可以记录的。而《标准》在第三学段的要求是：认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；能通过具体事例认识平移，并探索出它的基本性质；能运用图形的平移进行图案设计。教材中之所以设计“图形的平移”这一内容，其关键在于展示“图形变换”的过程，为后续旋转变换、轴对称变换奠定基础。

苏科版初中数学教材的编者则遵循承上启下的原则，通过用“直尺和三角板画平行线”的直观形象，让学生根据“将三角板沿直尺平移一定的距离所显示的对称点连线关系”的刻画，引导学生回忆小学学过的相关知识。同时，课本安排了“做一做”“议一议”等画图操作与思考活动，以及通过能展现应用平移性质的例题呈现，帮助学生认识“一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等”的性质，说明图形平移是图形运动变化的一种基本形式，其外在表征就是对称点的平移，终归于学生逐渐理解图形平移的本质，这也是本节教学的核心目标，即引导学生初步认识图形变换的思想方法。同时，本节在“平移概念”的基础上，给出了图形平移的基本性质。

教科书对“图形的平移”的教学目标要求为：（1）通过生活实例认识平移，探索并归纳平移的基本性质，发展几何直观；（2）能运用平移的基本性质进行简单的平移作图和图案设计，增强审美意识。安排的主要内容是：在具体操作中探索并归纳平移的基本性质。因此，将本节内容设计为1个课时：通过方格纸平移线段和四边形，在操作、观察、度量的基础上寻找对应点连线之间的关系，猜想并归纳平移的基本性质。根据教学目标，结合本节的课时内容，笔者认为，在具体平移操作中，探索对应点连线之间的关系是本节课的重点。而用规范的数学语言归纳提炼平移的基本性质，渗透图形变换思想则是本节课的难点。突出重点、突破难点的关键是让学生画图操作、观察猜想、度量分析并交流表达对应点连线之间的关系，借助“方格纸”这一载体，融入图形变换思想。

教学中需要注意的是，平移图形不是目的，因此不能上成美术课；真正的目的是借助平移图形的过程，探索、归纳平移的基本性质。因此，教师要紧紧围绕探索图形平移的性质展开活动，把握三个层次：一是确定平移方向和平移距离；二是寻找对应点连线之间的关系；三是说明对应点连线关系成立的理由。

二、设计思路

本节的教学设计思路体现两个层次：一是在具体情境中，通过对生活现象的观察、操作、分析提炼出平移的意义，明确平移过程中变与不变的因素；二是在平移多种图形的操作过程中，感受平移性质的存在性和合理性，凸显“平移变换”的现实价值。

1.情境创设，揭示图形平移的内涵。

设计方案1：

（1）你能举出生活中体现平移现象的例子吗？

（2）游乐场内的“小火车”和“摩天轮”的运动一样吗？为什么？

经历上述活动，你能尝试描述“平移”现象吗？

设计方案2：

（1）请画出三角板沿直尺平移后的图形。（两人合作，交换画图）

（2）观察思考所画的图形，你发现了什么？请尝试给出平移的定义。

【设计说明】方案1让学生举出生活中平移现象的实例，目的是引发学生对平移印象的记忆，由此揭示学习的课题；判断“小火车”和“摩天轮”运动的类型；旨在让学生对各种运动现象进行分类、比对，使学生感知平移现象的特征，强化对图形平移的感性认识。同时，设计“三角尺沿直尺移动”的操作活动，比较直观，能让学生感悟平移的意义以及平移过程生成的变与不变的因素（平移改变图形的位置，但其形状和大小不变），进而激发学生探求的迫切感。在课堂教学中，要让学生自由操作、自主探究，自觉描述平移的概念。方案1感性思维表征偏多，适合思维基础较薄弱的班级使用；而方案2则理性思维较重，可供思维相对活跃的班级选用。

2.观察操作，探索平移的基本性质。

设计方案1：

在图1中进行如下操作：

（1）请画出点A、B、C分别向右平移4格后的对应点A′、B′、C′。

（2）连接点A′、B′，你发现了什么？你能将线段A′B′向上平移2格吗？

（3）连接点B′、C′和点A′、C′，比较△ABC和△A′B′C′，你发现了什么？画出△A′B′C′向上平移2格后的三角形。

（4）连接AA′、BB′、CC′，你有什么发现？写下来并说明理由。

设计方案2：

（1）在方格纸上任意画一个△ABC并将其向右平移4格，画出平移后所得的△A′B′C′。

（2）再将△A′B′C′向上平移2格，画出平移后所得的△A′′B′′C′′，并说说你的画法。

（3）连接AA′、BB′、CC′，你有什么发现？写出你的结论并说明理由。

（4）任意说出平移的方向和距离，让同伴在方格纸上画图并检验其合理性。

【设计说明】方案1给出明确的操作指向（给定基本图形且给出平移的方向和距离），由点的平移到线段的平移，再到三角形的平移。由于问题起点低，在具体范式的引领下，一般学生的思维都能够得着，因此相对简单些。方案2问题属于半开放操作，由学生自己确定基本图形，在操作指向的引领下，要求学生给出待生成的符合条件的两个三角形。省去了点与线段平移铺垫的环节，学生的操作思维跨度较大，增加了操作和思考的难度。在具体操作活动中，让学生在画图中体会平移的方法，在探求平移方法的过程中归结提炼平移的性质；借助思路回流和适当的直观验证，以此让学生加深对性质的直观感知和理性认识，进而生成“可视可触”的平移本质。两种方案思维起点不同，可根据实际学情选择使用。

3.操作思考，应用平移的基本性质

设计方案1：

平移图2中的△ABC，使顶点A移动到点A′的位置，画出平移后所得到的△A′B′C′。

设计方案2：

任意画一个四边形ABCD，并在其外部找一点A′，使顶点A移动到点A′的位置，画出平移后得到的四边形。

【设计说明】方案1的问题来自于课本例题，既是对前面所学的“平行的条件和性质”的回应，又是对平移基本性质应用的考量，还能为后续的“认识三角形”埋下伏笔。因此，教学中要用好它，用好本题的关键是让学生“先说再做，做中追说”，从而体现例题教学的价值。本题教学的重点是运用图形平移的基本性质作出符合题设条件的图形；难点是如何运用图形平移的基本性质确定另外两个对应点；突破口是对“使顶点A移到点A′的位置”意义的理解（提供了平移的方向和距离）。方案2是由课本中的“议一议”改编而来，设计的视野开放，给学生提供广阔的思考时空，满足了不同层次学生的思维需要，有效解决了思维“滞胀”和思维“不足”的问题，其教育价值毋庸置疑。用好的关键是下放“学权”，相信学生能行。另外要观照思路双向回流，借用实物验证和操作推演，方能让学生不仅知其然，而且能知其所以然。

三、教学实录

（一）情境创设，唤醒学生对平移的粗浅记忆

师：你能举出生活中体现平移现象的例子吗？说说看。

生1：起跑线上，50米短跑的同学。

生2：画平行线时，被移动的三角尺。

生3：超市里，手扶电梯上行的人……

师：大家能用数学的眼光审视生活，老师很开心！游乐场内的“小火车”和“摩天轮”的运动一样吗？为什么？

生4（迫不及待地）：在直道上乘坐“小火车”属于平移运动；乘坐“摩天轮”属于旋转运动。

师：你能猜出我们今天将要学习的课题吗？

生（齐）：图形的平移。（师一边板书课题，一边用体态语言认同学生的答案）。

师：你认为什么是图形的平移？

生5：将图形沿着某个方向移动一定的长度；（自觉补充）这样的图形运动，叫做图形的平移。

师：这里说“长度”确切吗？

生5：好像有点问题。

生（齐）：（借助课本）在平面内，将图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动，叫做图形的平移。

师：在上述物体平移的过程中，你还发现了什么？

生（停顿片刻后）：物体的位置发生了变化，但其形状和大小没变。

师（追问）：图形的平移也有类似的性质吗？

生（齐）：是的。平移不改变图形的形状和大小，但改变其位置。

以生活中的平移现象为抓手，引动学生对平移的直观印象；借助对运动现象的分类，让学生抓住平移的外在表征并以此提炼图形平移的定义以及平移过程中变与不变的因素。

（二）操作思考，揭示平移图形的本质方法

出示如下问题：

（1）在方格纸上任意画一个ABC并将其向右平移4格，画出平移后所得的△A′B′C′。

（2）再将△A′B′C′向上平移2格，画出平移后所得的△A′′B′′C′′，并说说你的画法。

（3）连接AA′、BB′、CC′，你有什么发现？写出你的结论并说明理由。

（4）任意说出平移的方向和距离，让同伴在方格纸上画图并检验其合理性。

学生画图操作，并相互交流。

【设计说明】学生在小学时已经能在方格纸上画简单图形平移后得到的图形，因此解决前两个问题并不困难。针对问题（3），学生经历操作与观察、猜想与度量、解释与说理，获得两组对应点的连线平行且相等的关系。其实，在解决问题（3）之前，为引入“对应点”的概念，笔者借助动画演示“三角尺沿直尺移动”的情景，让学生指出移动前后哪些点是对应的，借助几何直观让学生自然理解对应点的含义；为了显示对应点的连线有可能在同一直线上的情形，再次回放“三角尺沿直尺”移动的情景，有了这些不可或缺的思维铺垫，学生终于完满获得图形平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。在作图范例的引领下，借助模仿所获得的经验，学生自主解决了问题（4）并自觉验证其合理性，收到良好的自得知识效果。在这一模块运行的过程中，有的学生自觉总结图形平移的方法：平移三角形就是平移线段，平移线段就是平移线段的端点。学生这种自发提炼的意识是难能可贵的，教师在教学中应倍加呵护这种积极的认知情绪和学习情感。

（三）探索应用，深化认识图形平移的性质

操作：平移前文图2中的△ABC，使顶点A移动到点A′的位置，画出平移后所得到的△A′B′C′。

师：你认为画图操作的关键是什么？

生（齐）：确定平移的方向和距离。

师（追问）：平移的具体方向和距离是什么？

生6：平移的方向就是由点A移到点A′的位置，距离是AA′的长度。

师：你是怎么知道的？

生6：是从题干“使顶点A移动到点A′的位置”中理解到的。

师：你能说说画图的具体方法吗？

生6：连接AA′；分别过点B、C画AA′的平行线BD、CE。

生7：分别在BD、CE上截取BB′=AA′，CC′=AA′；连接A′B′、B′C′、A′C′。△A′B′C′就是平移后所得到的三角形。

师：请验证你画图的合理性。

【设计说明】大部分学生通过度量验证，有个别学生借助与同伴图形叠合的方式验证，另有两名学生借助平行四边形的性质说理验证。这让教师相信学生不仅能行，而且能做得很好。

（四）拓展运用，衍生数学审美文化的理趣

活动：请以三角形为基本图形，借助平移变换的方式，设计一个精美的图案，比比看谁的作品棒。

【设计说明】美术是学生的最爱，每个孩子脸上写满了快乐，远比纯作图题来得实惠。有的自己画，有的合作设计；有的在方格纸上操作，有的在卡纸上创作，那种高兴是发自内心的。时间不长，学生就展示出精彩纷呈的作品，精美的设计反映出学生良好的创造能力和对图形平移理解的通透性。就此结课，让有文化品位的小画家回顾创作思路，既固化了新知，又渲染了审美情感。

四、教学感悟

1.发展学生的几何直观需借助经验的积累。

教学中的核心问题是发展学生的几何直观，在“做”中累积活动经验并渗透图形变换的思想。徐利治先生曾指出，“只有做到直观上的懂才算真懂”；波利亚认为，“学习任何东西的最好途径是自己去发现、自己去领悟”；建构主义的观点是，“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的”。这就要求我们在教学的过程中，要从学生的数学现实出发，让学生借助生活经验的直观性，获得对新知的感性认识；在数学化的帮助下，抽象出新知的理性本质；然后在探究活动中深化认知，经历思路回流和新知反哺，体悟终身受用的方法和思想。

2.发展学生的几何直观需下放“做权”和“学权”。

就认识论层面而言，人对新知的接纳是一个循序渐进的过程，需要下放“学权”，让学生自己去发现与领悟；就方法论层面而言，人对新知的吸收是一个渐次积累的过程，需要下放“做权”，让学生自主去探求与建构；就课程论层面而言，学生掌握知识，不能死记硬背，而应联系生活与学科，在“做”中理解并揭示本质，在应用中深化认识并体现方法。《标准》指出，“平移”是现实生活中广泛存在的现象，不仅是探索图形性质的必要手段，而且是解决现实生活中的具体问题以及进行数学交流的工具。在直观的基础上，体会平移的应用价值和丰富的内涵，认识和欣赏平移，探索平移的基本性质，促进观察、分析、归纳等一般能力和审美意识的发展。不论是探究活动中的平移操作还是思路双向回流，都是抓住“做”的直观性，培育图形变换意识，发展“几何直观”。

【参考文献】

[1]朱桂凤，孙朝仁.图式语言：培养学生几何直观的良方[J].中学数学教学参考，2013（09）.

[2]汪健.理解教材精心设计主动学习——苏科版七年级数学上册“绝对值”解读及教学实录片段与感悟[J].中学数学，2014（10）.