张青云　王广锋

在一次教研活动中，老师们对下面一道学生练习题的结论产生了不同的意见：

问题如图1，在长为50米，宽为32米的矩形花园中，修建两条交叉的小路（相交所成是锐角），且小路的水平方向或竖直方向的长均为2米，则花园剩余部分的面积为多少平方米？

有人认为：这个问题可以运用平移方法，把图1转化为图2模样，则剩余部分面积为：（32-2）×（50-2）=30×48=1440m2.

但有人提出异议，认为这个结果值得怀疑，主要是两条小路重叠部分的面积，似乎捉摸不透，不甚明朗.

那么，结果究竟应当是怎样的呢？带着这个问题，笔者展开了相关研究.

1平移溯源

平移变换是一种基本的图形变换，根据平移变换的性质，图形平移不改变图形的大小与形状，即平移后图形与平移前的图形全等.矩形中的“小路”问题，大多可以应用平移变换法来研究，但按平移对象的不同，通常有两种不同的平移理解.以图3为例，一种是平移小路，将图3中的两条小路分别向原矩形的边缘平移，如图4，其结果是原先分离的部分组成为一个新的小矩形；另一种是平移图3中分离的四个小矩形，使它们直接拼接为一个整体，成为一个新的较大矩形，如图5.

不难看出，这两种方式的平移，其最后效果都是一样的.即图3中剩余部分面积为：（50-2）（32-2）=48×30=1440m2.

而在某些特殊情况下，比如小路是“倾斜”或弯曲时，如图6，那么就可以采用第二种方式理解，所谓“山不过来，我就过去”，通过平移左右两个分离的图形，使之组合为一个完整的……