1问题的提出

“教学为了谁？教学依靠谁来展开和进行？教学从哪里出发？”这三个问题是数学教师必须经常思考和回答的，具有不同教学立场的教师对这三个问题的回答是不同的，不同的答案表明了不同的态度，这也影响着甚至决定着教学的方式和效果.事实上，教学立场有教师立场和儿童立场之分.教师立场是站在教师的角度来思考教学，以“我为什么教、教什么、怎么教、教到什么程度”为教学设计取向，教学过程以教师的行为与思维方式为主，对学生的感受和实际接受水平关注不够.儿童立场是站在学生的角度来思考教学，以“学生为什么学、学什么、怎么学、学到什么程度”为教学设计取向，教学过程根据“学生的感受和实际教学现状”不断调整教学方式与进程，以“是否有利于学生发展”为教学归宿.基于“教师立场”与“儿童立场”的教学有何差别呢？为方便说明，以人教版《义务教育教科书·数学》七年级（下册）“算术平方根”的两个教学片断为例.

2教学对比实践

片断一情境导入，引出概念

【教师立场】

问题1学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

活动一师生互动

学生1：应该取5.

师：为什么？

学生2：因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5dm.

活动二填写下表

正方形的面积/dm2191636425正方形的边长/dm（学生依次说出为1、3、4、6、25）

教师：这实际上是已知一个正数的平方，求这个正数.（稍停）这就是我们本节课要学习的“算术平方根”.

【学生立场】

问题1解答下列各题

1.求出下列各式的值.

①22；②102；③（32）2；④0012.

2.填空.

①如果一个正数的平方等于4，则这个数是.

②如果一个正数的平方等于100，则这个数是.

③如果一个正数的平方等于94，则这个数是.

3.想一想：（）2=2

学生1：没有，找不到一个数的平方等于2.

学生2：有，应该是15，哦，不对，不对，应该是112.

（学生进行了初步讨论）

教师：到底有没有平方等于2的数呢？请拿出课前准备的两个面积为1dm2的小正方形.

问题2能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？

（小组合作探究并展示了四种类型）

第一种类型：

（1）（2）第二种类型：（1）（2）（当这两种类型展示出来，学生都认为不符合要求）

第三种类型：

（1）（2）第四种类型：

（1）（2）师：大家真会动脑筋.还有不同的吗？（在教师的引导下，师生共同得到下列类型）

（1）（2）问题3老师很想知道面积为2dm2的正方形的边长为多少？你能给算一算吗？

学生3：设正方形边长为xdm，得到x2=2.

学生4：可以估算x的值，得到1

学生5：我用了很多数来试包括整数和分数，没有找到一个数的平方等于2，所以平方等于2的数应该不存在.

学生6：要解出方程x2=2中的x，在现有的知识范围内不可能求出，需要学习新的知识，即学习算术平方根后才能求出.

教师：大家说得都有理.事实上，从动手操作我们看到，正方形边长x确实是存在的，而且它是正数，但到底是怎样的数呢？生6说是算术平方根，那么什么是算术平方根？

评析对于新概念的引出，基于教师立场的教学从“我”的认识出发——内容简单，知识点单一.在这种认知观引领下，执教者简单地从“平方与算术平方根的运算互逆”关系入手，通过“裁布情境——计算特殊完全平方数”引出新概念，学生“酝酿”新概念的时间不充分，“思考”的空间更是不够——未能激起学生学习的“欲望”.而基于学生立场的教学从“学生”已有的认知起点——利用先行组织者（计算“一个数的平方——知道一个正数的平方，求这个正数”），从“学生的现有水平”链接到“学生可能的发展水平”，架构了学生的“最近发展区”——“平方与算术平方根”的互逆关系，再通过“想一想”——找谁的平方等于2，在学生讨论后引发“认知冲突”，把学生引入“愤”“悱”状态，最后通过学生的小组合作探究，在动手操作后引出新概念，这个教学过程拉长了学生的“思维长度”.

片断二形成概念，理解概念

【教师立场】

教师：像52=25，那么5叫做25的算术平方根；102=100，那么10叫做100的算术平方根.（出示多媒体）

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.

a的算术平方根记为a.

例1：说出下列各数的算术平方根.

（1）9；（2）4；（3）3

学生3：9的算术平方根是3；4的算术平方根是2；3没有算术平方根.

教师（故作惊讶状）：3为什么没有算术平方根？（稍停，未等学生回答）你们终于被难住了，3是有算术平方根的，是3.3既不是整数，也不是分数，是后面要学习的无理数.同样，5的算术平方根是5，10的算术平方根是10.

例2：求下列各数的算术平方根.

（1）100；（2）1；（3）0；（4）4964；（5）32；（6）-4.

（对于1—5小题学生很快地给回答了）

教师：-4的算术平方根是多少？

学生4：是2.

学生5：不对，应该是没有.

教师（追问）：为什么没有？你能告诉大家理由吗？

学生5：因为负数没有算术平方根.

教师：不对，理由是：正数的平方是一个正数，0的平方是0，负数的平方是一个正数，也就是任何数的平方都是正数或0，没有一个数的平方为负数，所以，负数没有算术平方根.（多媒体出示）

正数的算术平方根是一个正数；

0的算术平方根是0；

负数没有算术平方根.

【学生立场】

问题4填写下列两个表格.

表1

正方形的面积/dm21916364252正方形的边长/dm表2

正方形的边长/dm12581025正方形的面积/dm2（表格大部分内容学生很快填好，但表1最后一空不能填，教师提示可用自己喜欢的方式表示，有用“·”、“→”等表示的，还有用英文字母表示的）

教师：我们看表1与表2中的两种运算有什么关系？

学生7：互为逆运算.

教师：互为逆运算以前学过吗？

学生8：以前学过互为逆运算的有加法与减法，乘法与除法.

教师：很好！表2中的运算是平方运算，请你根据自己的理解，用自己的语言叙述平方运算的逆运算的含义.

学生9：如果x2=a，那么x是平方运算的逆运算.

教师：怎样用数学语言准确定义？（多媒体出示）

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.

（教师介绍算术平方根的数学符号表示与读法）

教师：平方等于2的正数怎样表示呢？

学生10：2.

教师：大家比较一下“2”与你们刚才各自的表示方式哪一种更好.（生都表示这种方式更好）.对，这就是我们数学的魅力——既简明又方便，体现了数学的简单美.（介绍了的由来）

教师：每人举2个自己喜欢的正数，并求出它的算术平方根.

教师：在所有的数中，有个特殊的数，多媒体出示：

规定：0的算术平方根是0.

讨论：-4有算术平方根吗？请说一说理由.

学生11：应该有，是2.因为22=4（意识到不对，未说完）

学生12：没有，因为找不到一个数的平方等于-4.前面我们学过任何数的平方都不可能是负数.

教师：说得再详细一点.

学生12：正数的平方是一个正数；负数的平方是一个正数；0的平方是0.也就是，所有数的平方都不能是负数.所以，-4没有算术平方根.

教师：很好.由此得到：负数没有算术平方根.自己归纳总结算术平方根的意义.（多媒体出示）

正数的算术平方根是一个正数；

0的算术平方根是0；

负数没有算术平方根.

交流：说一说你对数学符号“”的理解.

学生13：“”是一个符号，用来计算一个正数或0的算术平方根的.

学生14：“”是一个运算符号，表示算一个数的算术平方根.

学生15：“”有时表示一个结果，比如2、3就是表示一个结果.

学生16：“”也表示一个数，比如2、3就是表示的数.

教师：大家说得很全面，“”有时是一个符号，有时是表示一种运算，有时表示一个数.这实际上就是对算术平方根意义的理解.

评析对“算术平方根”这个新概念的形成与理解，基于教师立场的教学从“我”的“方便”出发——通过苍白的“描述”和“直接告知”的方式强迫学生“被理解”并记忆算术平方根的概念，对于所谓“不好讲”和“费时”的内容采取“直接告知”的方式，教师思考得更多的是“怎么把知识原原本本、正确无误地教给学生”，学生对概念的理解是在“计算”过程中进行的，由此学生记忆的多，主动思考的少，机械模仿多，深度理解得少.而基于学生立场的教学从“学生”的“困惑处”出发——“平方与算术平方根的思维互逆”“算术平方根的表示方法”“负数有算术平方根吗？”“对的理解”，这些问题看似简单，恰是学生最困惑的地方，采用讨论、演绎、归纳等方式，更是让学生“畅所欲言”，暴露其思维过程，学生在“讨论——修正——完善”的过程中理解了新概念的本质属性，建立初步的数感和符号感.

3教学启示

“儿童本位”是新课程改革的核心价值取向.随着课改的深入，“儿童立场应是现代教育的根本立场”[1].“教育是为了儿童的，教育是依靠儿童来展开和进行的.教育的立场应是儿童立场.儿童立场鲜明地揭示了教育的根本命义，直抵教育的主旨”[2].儿童立场的数学课堂，就是要关照儿童的真实需求和反应，以儿童的真实需求作为教育的起点和归宿.如何做到从“教师立场”到“儿童立场”的华丽转身呢？

3.1从“为什么教”向“为什么学”转变

“为什么教”关注的是数学教学的本质功能——育人，这种育人功能不是教给学生学科知识，而是要把学生培养成适应社会发展的有用人才.基于教师立场的算术平方根教学把“发展学生逆向思维能力、培育理性精神”作为育人功能.“为什么学”关注的是数学本源——对数学本质的追根溯源，“引发认知冲突”，关注数学的历史价值与未来价值，对“我”或“我们”发展的必要性.已知一个正数的平方，为什么要用算术平方根表示这个正数？算术平方根的产生过程是怎样的？如何表示一个数的算术平方根？“”是何物？等等，这一系列的问题引发学生认知矛盾，学生从内心渴求了解，这也是学生对“为什么学”的不断追问.

3.2从“教什么”向“学什么”转变

“教什么”关注的是教科书中课文的核心内容.算术平方根包括了四个内容：算术平方根的概念、会用符号表示算术平方根、算术平方根与平方的联系、会求算术平方根.基于教师立场会把这四个知识点按照教师的方式传授给学生，而将学生的想法排除在外.“学什么”关注的是学生对课文核心内容的原始想法，沿着“从学生的想法开始，到发现想法的不足，再到接受一种更为合理的想法，学生会自然地进行思考并学会反思自己思考的合理性”这条路径来思考学习.

3.3要从“怎么教”向“怎么学”转变

“数学教学是数学活动的教学.”活动的真伪自然影响着学习过程的质量高低.基于教师立场的算术平方根教学采用教师认可的讲授、探究活动（更多是教师的探究）、以练来强化对算术平方根概念的理解等方式来达成目标.而基于儿童立场是在尊重儿童思维方式的基础上，通过数学思维方式的深入浅出，引领儿童“走向数学思维”，并通过“数学学会思维”，使其思维习惯打上数学的烙印，促进学生从数学角度思考问题，为其思维方式增添更多理性色彩.

3.4要从“应教到什么程度”向“能学到什么程度”转变

数学教学不能只停留在告诉或传递给学生静态的数学知识，而应尽可能地使学生获得怎样探求新知识的智力价值和智慧价值，这才是数学教学的根本之所在[3].基于教师立场的教学以学生“会理解、能计算”算术平方根为教学程度目标.而基于儿童立场的教学以深度对话促进对数学生命的认同、以深度体验促进对数学价值的认同、以深度探究促进对自我价值的认同，从而使学生对“冰冷美丽”的数学进行“审美化改造”，实现学生对数学的“再创造”，促使学习穿越数学的表层符号特征，走向对数学意义层面的深度认同.

参考文献

[1][2]成尚荣.儿童立场，教育从这里出发[J].人民教育，2007（23）.

[3]卜以楼.教育价值：数学教学的根本之所在[J].数学通报，2013（1）：16—19.

作者简介蒲大勇，男，1974年生，四川南充人，中学高级教师，四川省教学名师，四川省特级教师，四川省有突出贡献优秀专家，主要从事有效教学和初中数学课堂教学研究.