曹建基,高建玲

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009;2.山西大同大学教育科学研究所,山西大同037009)

仅有两个非平凡正规子群的可解群

曹建基1,2,高建玲1

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009;2.山西大同大学教育科学研究所,山西大同037009)

研究了仅有两个非平凡正规子群的有限可解群.给出了这类群的一些性质.

正规子群;可解群;幂零群

本文讨论的群均为有限群。

利用正规子群刻画有限群的结构是有限群论中常用的方法。特别地,非平凡正规子群的个数对有限群有很大的影响。如果有限群G没有非平凡正规子群,则G为单群,文献[1]给出了有限单群分类定理,它是数百位数学家数十年努力完成的。作为该问题的另一个极端情形,文献[2]给出了De⁃dekind群的分类。

本文对仅有两个非平凡正规子群的有限可解群做了研究,得到了一些结论。

1 预备知识

引理1[2]设G为有限可解群,如果群G存在唯一的非平凡正规子群K,则:

(1)G幂零当且仅当G为p2阶循环群;

(2)G可解但非幂零当且仅当G=P⋊Q,其中P为初等交换p-群,Q为q阶循环群且Q在P上作用不可约。

引理2设G为有限可解群。G仅有两个非平凡正规子群H和K,且H⋂K=1当且仅当G≅Cp×Cq,其中p,q为不同素数。

证明充分性显然。

必要性:因为G仅有两个非平凡正规子群H和K且H⋂K=1,所以G=HK即G=H×K,又由G＞H＞1,G＞K＞1为群G的主群列,由G可解得H和K均为初等交换p-群,故G交换,而由G仅有两个非平凡正规子群得G≅Cp×Cq其中p,q为不同素数。

引理3设G为有限群,且有唯一的极小正规子群N,则G=N M,其中M＜·G,

MG=1当且仅当N交换且N≤Φ(G)。

引理4[3]设G为有限非交换p-群,则G非平凡特征子群唯一当且仅当G为方次数为p2的齐次循环p-群。

引理5[3]设G为非交换p-群,且G非平凡的特征子群唯一,则G为方次数不超过p2的特殊p-群。

引理6[3]设G为有限超特殊p-群(p＞2),则G非平凡特征子群唯一当且仅当exp(G)=p。

引理7[4]设π'-群H作用在交换π-群G上,A是H的不变子群,且为G的直积因子,即存在B≤G使G=A×B,则必可找到G的H不变子群K使G=A×K。

引理8[5]设G为有限超特殊p-群,A是群G的非交换的p3阶子群,则G=A∗CG(A),其中CG(A)为超特殊p-群,除非G=A。

2 主要结果

定理1设G为有限可解群。如果G仅有两个非平凡正规子群,那么

(1)G幂零当且仅当G为p3阶循环群或G=Cp×Cq,其中p,q为不同素数。

(2)G为非幂零可解群,

Φ(G)=1当且仅当G为下面两种群之一。

(I)G=F(G)⋊Cq2,其中F(G)为初等交换p-群,且F(G)为G的唯一极小正规子群,Cq2在F(G)上作用不可约。

(II)G=F(G)⋊(Q⋊R)其中F(G)为初等交换p-群,且F(G)为G的唯一极小正规子群,Q为初等交换q-群,R为r阶循环群。R在Q上作用不可约。p,q,r为素数。

Φ(G)≠ 1,G=F(G)⋊Cq,其中F(G)为p群,|Φ(G)|=q+1。

(I)F(G)交换当且仅当G=(x1×x2×…×xk)⋊Cq其中且Cq在F(G)上作用不可约。

(II)F(G)非交换，则F(G)为非平凡特征子群唯一的特殊p-群，且exp(F(G))≤p2。特别地,F(G)为超特殊p-群当且仅当G=(M1∗M2)⋊C2，其中M1≅M2为方次数为3的33阶非交换群，且M1∗M2的任意33阶子群均不正规,如果C2=g，则有

为证明定理1，我们分情况讨论，先考虑G幂零的情形,得到下面的

命题1设G为有限幂零群，则G仅有两个非平凡正规子群当且仅当G同构于下列两个群之一

(1)G为p3阶循环群。

(2)G≅Cp×Cq，其中p，q为不同素数。

证明充分性显然。

必要性:由于G幂零且G仅有两个非平凡正规子群,所以|G|最多有两个素因子。

(1)如果G为p-群,则由于p-群有任意阶的正规子群,所以|G|=p3。G必定循环，否则由于G任何一个极大子群都正规可得矛盾。故G为p3阶循环群。

(2)如果|G|有两个素因子,不妨设为p,q且设P∈Sylowp(G)，Q∈Sylowq(G)，则G=P×Q。由于G仅有两个非平凡正规子群,故P，Q均为素数阶循环群，即G≅Cp×Cq。

下面讨论G为非幂零可解群的情况得到

命题2设G为非幂零可解群。且设Φ(G)=1。G仅有两个非平凡正规子群当且仅当G为下面两种群之一

(1)G=F(G)⋊Cq2，其中F(G)为初等交换p-群,且F(G)为G的唯一极小正规子群，Cq2在F(G)上作用不可约。

(2)G=F(G)⋊(Q⋊R)其中F(G)为初等交换p-群，且F(G)为G的唯一极小正规子群,Q为初等交换q-群，R为r阶循环群。R在Q上作用不可约。p，q，r为素数。

证明必要性:由引理2及群G仅有两个非平凡正规子群得G的极小正规子群唯一,又由于Φ(G)=1所以F(G)为群G唯一的极小正规子群。由引理3得G=F(G)⋊M,其中M＜·G,且MG=1所以由引理1得G同构于(1),(2)两种群。

充分性:经验证可得F(G)⋊Cq为包含F(G)的唯一的正规子群,结论得证。

对于(2)类似于(1),经验证得F(G)⋊Q为含F(G)的唯一的正规子群,结论得证。

命题3设G为非幂零可解群,且设Φ(G)非平凡。G仅有两个非平凡正规子群,则G=F(G)⋊Cq,其中F(G)为p-群,p,q为素数,且|Φ(G)|=q+1。

(1)F(G)交换当且仅当G=(x1×x2×···×其中且Cq在F(G)上作用不可约。

(2)F(G)非交换,则F(G)为非平凡特征子群唯一的特殊p-群,exp(F(G))≤p2。

特别地,F(G)为超特殊p-群当且仅当G=(M1∗M2)⋊C2,其中M1≅M2为方次数为3的33阶非交换群,且M1∗M2的任意33阶子群均不正规,如果C2=g,则有M1g=M2。

证明由G可解得F(G)非平凡且Φ(G)＜F(G),F(G)定为p-群。否则,由于F(G)幂零得F(G)的任意Sylow子群均为G的非平凡正规子群,与仅有两个非平凡正规子群矛盾。由于可解群必定存在一个极大正规子群，所以F(G)＜·G，故G=F(G)⋊Cq。

下面讨论F(G)的非平凡特征子群，如果F(G)为特征单群，即F(G)=Cp×Cp×···×Cp=Φ(G)×A，由引理7得A⊲_G，矛盾。所以由G的非平凡正规子群仅有两个得F(G)非平凡特征子群唯一。

(1)若F(G)交换，由引理4得F(G)=x1×x2×···×xk其中由G仅有两个非平凡正规子群得Cq在F(G)上作用不可约。反之，由于Cq在F(G)上作用不可约得Φ(G)为唯一的真包含于F(G)的G的正规子群。

(2)若F(G)非交换，由引理5得F(G)为方次数≤p2的特殊p-群，Φ(G)=F(G)=Z(F(G))=Φ(F(G))为初等交换p-群，考虑Cq在{Φ(G)1}上的共轭作用。由Φ(G)为极小正规子群，及Φ(G)=Z(F(G))得Cq在{Φ(G)1}上作用传递，所以|Φ(G)|=q+1。

特别地，如果F(G)为超特殊p-群，由于|Φ(G)|=q+1，所以p=q+1，得p=3，q=2，由引理6得F(G)为方次数为3的超特殊3-群。 即G=(M1∗M2∗ ··· ∗Mk)⋊C2，其中Mi≅ Mj为方次数为3的33阶非交换群。令Mi=xi,yj，由于G仅有两个非平凡正规子群，所以Mi⊲G，令C2=g ，由Mi⊲G，得至少有一个不属于Mi，如果则由可交换得xi，yj可交换，矛盾。所以均不包含在Mi中，令可得所以，由引理8得F(G)的任意33阶子群均不正规，且

反之，如果G存在除Φ(G)和F(G)外的非平凡正规子群K，则K≅Cp×Cp=a×b如果K≤M1，则a，b至少有一个不在Z(F(G))，不妨设为b，由M如果a∈M1，b∈M2，且a，b都不包含于Z(F(G))，则

综上所述，命题1，命题2,命题3完成定理1的证明。

[1]DANIEL Gorenstein,RICHARD Lyons,RONALD Solomon.The classification of the simple groups[J].American Mathematical Soci⁃ety,Mathematical Surveys and Monographs,2000,40(1)：55-56.

[2]ZHANG Qinhai,CAO Jianji.FINITE groups whose nontrival normal subgroups have the same order[J].Mathematical Reaserch Ex⁃position,2008,28(4):807-812.

[3]ZHANG Qinhai,CAO Jianji,XU Mingyao.A note on finite superspecial p-groups[J].Advances in Mathematics,2008,37(4):494-498.

[4]徐明曜.有限群导引(下册)[M].北京:科学出版社,1999:6-7.

[5]DANIEL Gorenstein.Finite Groups[M].New York:Chelesa Publishiing Company,1980:203-204.

Finite Solvable Groups with Two Nontrivial Normal Subgroups

CAO Jian-ji1,2,GAO Jian-ling1
(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)(2.Institute of Educational Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,we studied finite solvable groups which only have two nontrivial normal subgroups.Some properties are given.

normal subgroups;solvable groups;nilpotent groups

O 152

A

1674-0874(2015)05-0007-02

2014-07-13

山西大同大学校级青年基金[2009Q14]

曹建基(1979-),男,山西介休人,博士,讲师,研究方向:群论。

〔责任编辑 高海〕