王荣鑫

“点差法”是圆锥曲线中的常见方法，如果能恰当使用，可以降低运算量，优化解题过程. 我们对“点差法”的掌握也有境界高低之分，特举以下几例，谈谈点差法在应用中的三重境界.

术：熟练应用，解决中点和斜率相关问题

1. 点差法的步骤

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将A，B坐标代入圆锥曲线方程，两式作差后分解因式，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称之为“点差法”. 应用“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求弦中点轨迹、垂直平分线问题，等等. 举例如下：

例1 已知AB是椭圆+=1（a>b>0）不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心，求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

解答：设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，则+=1 ①，+=1 ②.

①-②得=-，所以=-，所以kAB== -. 又kOP=，所以kAB= -·，所以kAB·kOP=-，原式得证.

2. 点差法的误区

虽然“点差法”简洁易算，但仍存在着应用的误区：忽视直线与圆锥曲线必须有两个不同的交点这一前提条件. 正确套用“点差法”的模型，按照步骤熟练求解，并明确知道它的适用条件，是第一重境界，我们不妨称之为点差“术”. 举例如下：

例2 已知双曲线x2-y2=1，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解答：假设这样的直线存在，设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2. 又x-y=1 ①，x-y=1 ②.

①-②得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以2（x1-x2）-（y1-y2）=0，所以PQ的斜率k==2. 所以l的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1.

（注：我们通常在这里匆匆结束，造成失误.）

但若将y=2x-1代入x2-y2=1整理得方程2x2-4x+3=0，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.

法：适时应用，抓住整体代换的方法解题

很多……