王荣鑫

“点差法”是圆锥曲线中的常见方法，如果能恰当使用，可以降低运算量，优化解题过程. 我们对“点差法”的掌握也有境界高低之分，特举以下几例，谈谈点差法在应用中的三重境界.

术：熟练应用，解决中点和斜率相关问题

1. 点差法的步骤

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将A，B坐标代入圆锥曲线方程，两式作差后分解因式，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称之为“点差法”. 应用“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求弦中点轨迹、垂直平分线问题，等等. 举例如下：

例1 已知AB是椭圆+=1（a>b>0）不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心，求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

解答：设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，则+=1 ①，+=1 ②.

①-②得=-，所以=-，所以kAB== -. 又kOP=，所以kAB= -·，所以kAB·kOP=-，原式得证.

2. 点差法的误区

虽然“点差法”简洁易算，但仍存在着应用的误区：忽视直线与圆锥曲线必须有两个不同的交点这一前提条件. 正确套用“点差法”的模型，按照步骤熟练求解，并明确知道它的适用条件，是第一重境界，我们不妨称之为点差“术”. 举例如下：

例2 已知双曲线x2-y2=1，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解答：假设这样的直线存在，设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2. 又x-y=1 ①，x-y=1 ②.

①-②得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以2（x1-x2）-（y1-y2）=0，所以PQ的斜率k==2. 所以l的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1.

（注：我们通常在这里匆匆结束，造成失误.）

但若将y=2x-1代入x2-y2=1整理得方程2x2-4x+3=0，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.

法：适时应用，抓住整体代换的方法解题

很多同学认为：“点差法只能解决同时与斜率、中点有关的问题. ”这句话有待商榷，因为点差法是“整体代换，设而不求”方法的具体运用，并非只有同时出现中点或者斜率时才能应用，举例如下：

例3 （2011年高考江苏卷）如图1，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限. 过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B. 设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.

分析：第（3）问的常规思路是，直线方程与椭圆方程联立得到点P，B，A的坐标，从而求出斜率，证明结论. 但求出的点的坐标非常复杂，再求斜率运算难度较大. 换种思路，设出点P，B的坐标，得到点A的坐标和直线PA，PB的斜率，利用P，B在椭圆上，使用“点差法”后，整体代换，不需要求出点P，B的坐标. 该题应用了点差法，但与中点并没有任何关系. 这就要求对“点差法”的“整体代换，设而不求”的方法有更深层次的理解，从“术”升华为“法”的境界.

解答：（1）k=. （2）d=（过程略）. （3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1>0，x2>0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0）. 因为C在直线AB上，所以kAB===kPA. 因为P，B在椭圆上，所以+=1 ①，+=1 ②.①-②得+=0，变形可得+·=0. 即+kAB·kPB=0，亦即+×kPA·kPB=0. 所以kPA·kPB=-1，所以PA⊥PB.

道：创新应用，寻找变量之间的等量关系

以下是高三一轮复习中的一个教学片段：

例4 已知椭圆C1：+y2=1和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，F是椭圆C1的右焦点.

（1）点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为+，求证：AP⊥OP；

（2）点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明：直线MN恒过定点.

分析：第（2）问，常规思路为：设N（x1，y1），M（x2，y2），则直线MN的方程为y-y1=·（x-x1），化简得y=x+. 下一步是寻找x1，x2，y1，y2之间的数量关系，化简MN的直线方程，继续运用条件：因为kBM=，kBN=，kBN=2kBM，所以=2，化简得：2x1y2-x2y1+2x1-x2=0. （进行到这里，思维“卡壳”）

根据计算，并不能得到与x2y1-x1y2有关的条件从而化简MN的方程，需要寻找M，N坐标之间的数量关系，但M，N两点分别在曲线C1，C2上，而B点是沟通曲线C1，C2的一个桥梁，可以考虑分别寻找B点与M点，B点与N点的坐标之间的关系，从而得到M，N横纵坐标之间的数量关系. 因此，可以考虑对B，M点和B，N点分别使用点差法. “点差法”本质是曲线上两点的横纵坐标和差之间的联系与整体转化，这是“点差法”中所蕴涵的“道”.

解答：（1）略. （2）设N（x1，y1），M（x2，y2），B（x3，y3）（x3=0，y3=-1），代入椭圆C1的方程，得+y=1 ①，+y=1 ②，①-②得+（y3+y2）（y3-y2）=0，变形后可得kBM==-=-·=-·. 同理代入圆C2的方程变形可得：kBN==-=-. 因为kBN=2kBM，所以-=2×-·，化简得x2y1-x1y2=x2-x1，则直线MN的方程y=x+可化为y=x+1，恒过定点（0，1）.

总之，对于点差法的应用，要轻技巧，重本质，不仅知道点差“术”，体会设点作差中整体代换的“法”，更要提升境界，领悟变量之间的联系和转化之“道”.endprint