张景中

一根磁铁棒截为两段，在截断的地方会产生两个新的磁极，变成两根磁铁棒；一条蚯蚓截为两段，在截断的地方会长成两个肛门，变成两条蚯蚓，有人把这些现象叫做“再生”. 一个几何定理的证明，把图形剪掉一半，从剩下的半个图形中还能找出这个定理的证明吗？如果可以，我们不妨称它为“再生的证明”.

勾股定理是几何学的一块重要基石，它的证明方法多达300余种. 最古老的证法（如图1）巧妙地利用了一大一小两个正方形的面积之差. 这种证法，变种极多，影响甚广而且众所周知，这里便不再赘言. 而在这众多证法中，居然有一个出自美国总统——加菲尔德之手. 具体证法如下：

上述证明虽然再生了，但并不理想. 这个证明没有总统的证法简洁，而总统的证法没有古老证法明快，再生之后，质量退化了！退化的原因大概是“近亲”繁殖，缺乏新鲜血液吧！两次再生过程，都不过是面积折半，如法炮制，没有新的思想注入.

能不能使再生的证明质量超过上一代呢？再生，不一定非得把图形剪掉一半不可. 壁虎尾巴脱落后可以再长一条出来，海星的部分肢体可以长成又一个小海星，这些也是再生. 那么，证明中所用的图形，取其部分以构成新的证明也不妨称之为“再生的证明”吧！

图4大家很熟悉，它表明了古希腊数学家毕达哥拉斯的一种证法，也是欧几里得《几何原理》中所载的勾股定理的证法. 现行教材中，普遍介绍了这个证法：

这个证明的出发点是在Rt△ABC三边上各作正方形，证明斜边上的正方形是两腰上正方形面积之和. 但在证明过程中，又是把每个正方形各取其半来比较. 既然各取其半可以，各取也可以，各取可以，当然各取n倍也可以！……