思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平以及思维活动的深度.思维的深刻性集中的表现为能深刻地理解概念，在思维过程中有较高的逻辑水平，能预见事物的发展过程.思维的深刻性是一切思维品质的基础，是数学思维品质的重要内容.

在传统的教学中，比较重视思考问题、解决问题这两个中间环节，这对培养思维品质来说是不够全面的，长此以往，会导致思维的肤浅性.因此数学教学中，除了传授知识和方法外，培养学生的思维能力和思维品质是不可忽视的重要内容.本文就思维深刻性的培养途径作一些粗浅的探讨。1 在概念的形成过程中培养思维的深刻性

概念是理性认识的一种最基本形式，正确地认识概念是一切科学思维的基础.概念本身的形成反映人们对现实世界丰富而深刻的认识，因此应让学生亲自经历由具体到抽象，概括出事物本质属性的过程，从而提高思维的抽象水平.

例如，在讲解“二面角”这一节时，教师可先不直接给学生讲二面角的平面角的定义，而是让学生参与这一概念形成的过程.首先复习平面几何中角的概念，通过类比引出二面角的概念，并用二面角实物的张合，让学生从直观上体会二面角的大小.然后向学生提出：如何度量二面角的大小？接着利用二面角的模型和可活动的角的模型，通过演示让学生看到：在不规定度量方法的情况下，二面角的大小就无法确定.这时引导学生讨论：如何规定一个简明且便于应用的量法，使二面角的大小能完全确定下来？经过酝酿讨论，学生可以想出：在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在平面α和β内分别引垂直于棱a的两条射线OA、OB，用∠AOB来度量二面角的大小.接着再引导学生讨论：O点是棱上任意一点行吗？∠AOB能唯一确定吗？于是学生转向证明∠AOB与O点在棱上的位置无关.这样就自然而然地引入“二面角的平面角”的定义。2 在深化概念教学中培养思维的深刻性

在深化数学概念教学时，引导学生善于抓住概念的本质深入地思考，深刻地理解概念.在揭示概念的内涵与外延的过程中，透过现象看本质，进行深刻思考，从而达到培养思维深刻性的目的.

例如，在双曲线概念的教学中，当得出双曲线定义：“平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线”以后，再通过实验演示，作如下引伸：

（1）将“小于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？通过演示后，发现点的轨迹不是双曲线，而是分别以F1、F2为端点的两条射线.

（2）将“小于|F1F2|”换为“大于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？通过演示后，发现点的轨迹不存在.

（3）将绝对值去掉，其余不变，点的轨迹是什么？通过演示后，发现点的轨迹只有一支，即左支或右支.

（4）若令常数等于零，其余不变，点的轨迹又是什么？通过演示，学生也不难得出点的轨迹是线段|F1F2|的中垂线.这样使学生认识了常数应大于零.

（5）将“小于|F1F2|”去掉，其余不变，应如何讨论点的轨迹？通过以上分析的结果，共分三类：即小于|F1F2|，大于|F1F2|，等于|F1F2|分别讨论.通过上述几个问题的引申，使学生对双曲线定义中的“绝对值”，“常数小于|F1F2|”有了较深刻的认识和理解，从而培养了思维的深刻性。3 在变式教学中培养思维的深刻性

在数学复习中，教师要引导学生在夯实“双基”的前提下，从范例出发适当进行变式教学，多方位探讨，深入钻研，使学生的思维得到进一步发展.图1例1 如图1，三棱锥D—ABC中，二面角B—AD—C是直二面角，DB⊥底面ABC，求证：△ABC是直角三角形.

学生解出后，引导学生进行以下思考：

（1）求证：二面角B—AD—C为直二面角的主要条件是点A在以BC为直径的圆上（除去点B，C）.

（2）由点C引出三条射线CA、CB、CD，CA、CB确定平面α，CB、CD确定平面β，且α⊥β，若作平面ABD⊥CA，则△ABC的形状是；作平面ABD⊥CD，则△ABD的形状是；将以上事实归纳成命题，并给出证明.

（3）在图1中，点A在以BC为直径的圆O上，DB⊥平面ABC，BE⊥AD，BF⊥CD.E、F分别为垂足.①求证：AD⊥平面BEF.

②若∠ABC=∠DCB=45°，求二面角A—CD—B的大小.③若DB=BC=2，∠ADC=θ，求当θ为何值时，S△BEF最大？最大值是多少？④若∠ABC=α，二面角A—DC—B为β，∠BCD=30°，点A位于何处时三棱锥D—ABC体积最大？

通过例1，引出思考（1），旨在训练学生的逆向思维；引出思考（2），引导学生通过分析各种情况，认识事物本质，从而深入地研究问题；引出思考（3），既复习了较多的立几知识，又开拓了学生的思路，从而培养思维的深刻性。4 在思维评价过程中培养思维的深刻性

思维评价活动是思维活动达到一定的广度、深度时的一种思维活动.通过解题过程中的思维评价活动，能预见解题过程的进程，明确每种思维方式各自存在的思维障碍及思维转换方法，取得解题的主动权，优化解题方法.解题过程中开展思维评价活动，同样也有助于思维深刻性的培养.

例2 如图2，设∠MOx=∠NOy=π3，A、B分别是OM、ON上的动点，且满足|AB|=4，设Q为AB上一点，且有BQ∶QA=3∶1，试求点Q到x轴距离的最大值和最小值.

图2本题即求Q点纵坐标的最值，基本思路是建立目标函数，然后求最值.利用定比分点公式建立目标函数时需用A、B点的坐标，对于这两点的坐标可以设AB的直线方程，通过解方程组得到，也可以直接用参数表示.及时进行思维评价，使我们选择后者.在用参数表示A、B坐标时，既可以用A、B点的横坐标作参数，也可以用|OA|、|OB|的值作参数，显然用|OA|、|OB|的值作参数和题意联系更直接.因此

设|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

则A、B的坐标分别为（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分点公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值时，可以沿下列方向进行联想：

联想1 yQ是关于a、b的二元函数，设法转化成一元函数.根据a、b之间的关系依靠三角代换解决.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

联想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐标平面内表示四分之一圆周，将目标函数改写成b=-33a+3y，则表示斜率为-33的平行直线系.那么问题转化为求与14圆周有公共点的直线系中在b轴上截距的最值，显然相切时，截距3y最大，过（0，4）点时，3y最小，产生了本题的几何解法.

联想3 联想到熟知的习题，定长线段上的定点，当线段两端在直角边上滑动是，定点轨迹是椭圆.因此Q点的轨迹是以O为中心、长短轴分别在OM、ON上的椭圆（夹在直角MON内的部分）.所以短轴端点C到x轴距离最小，平行于x轴的切线的切点T到x轴距离最大，由此产生第三种解法.

联想4 视yQ=18（b+33a），a2+b2=16，为关于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

联想一元二次方程在指定区间上有解的条件又得一种解法.

上述几种联想引出的解法中，解法1是化二元函数为一元函数的常用方法，有一般指导意义.解法2充分利用条件的几何意义，通过数形转化，得到一种直观、简洁的解法.解法3是建立在联想已有习题结论的基础上，虽然直观，但缺乏普遍性.解法4也是求条件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制约，因此不是简单的使用“Δ法”，在这里显得比其它解法困难.充分展开联想，才能拓宽解题思路.及时评价每种联想引出的方法，既能优化解题过程又有利于加深对有关数学知识和方法的理解，使思维能力向更高层次发展。5 在对命题隐含条件的发掘和揭示中培养思维的深刻性

在数学命题中，有很多命题的数量关系与空间形式都隐藏在已知条件和结论中，往往需要对问题的深入分析和深刻理解才能发现，因此，对隐含条件的发掘同样也是培养学生思维深刻性的一种手段.

例3 已知定义域为正实数集的函数f（x）为递减函数，且满足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔细观察和分析已知条件，就会发现隐含条件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隐含条件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根据定义域的隐含条件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在归纳问题的一般规律中培养思维的深刻性

中学课本中，有不少例题、习题往往是某一问题的特例，这就为培养思维深刻性提供了方便，因此教学中，积极引导学生广泛联想，对这些特例作适当引伸、探索，揭示问题的一般规律，总结一般方法.使学生养成解题后再思考的习惯，逐步增强由特殊到一般的抽象概括能力，从而培养思维的深刻性.

例如，在讲二项式定理时，可以从（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展开式讲起，让学生体会到随着n的增加，（x+a）n的展开式将越来越复杂，

因此有必要研究展开式的规律性，继而引导学生从特殊到一般，由具体到抽象，自己探索发现（x+a）n的展开式的规律.又如，有一道竞赛题：“将正整数19分解成若干个正整数的和，使这些正整数的积最大”，做完这道题后，引导学生由特殊到一般，分析研究分解的规律，进而解决“将任意一个正整数n分解为若干个正整数的和，使其积最大”的问题.

培养思维的深刻性是数学教学的一项重要任务，必须落实到教学的各个环节中，长期坚持，积极探索.思维深刻性的培养还必须和其它思维品质的培养有机地结合起来，才能形成良好的思维品质.

作者简介 卢学谦，男，1966年8月生，中学高级教师.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世纪优秀青年科技人才称号； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市优秀共产党员”称号； 2013年10月被中国数学会授予全国高中数学联合竞赛优秀教练员称号；2014年被评为全国优秀教师.

设|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

则A、B的坐标分别为（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分点公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值时，可以沿下列方向进行联想：

联想1 yQ是关于a、b的二元函数，设法转化成一元函数.根据a、b之间的关系依靠三角代换解决.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

联想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐标平面内表示四分之一圆周，将目标函数改写成b=-33a+3y，则表示斜率为-33的平行直线系.那么问题转化为求与14圆周有公共点的直线系中在b轴上截距的最值，显然相切时，截距3y最大，过（0，4）点时，3y最小，产生了本题的几何解法.

联想3 联想到熟知的习题，定长线段上的定点，当线段两端在直角边上滑动是，定点轨迹是椭圆.因此Q点的轨迹是以O为中心、长短轴分别在OM、ON上的椭圆（夹在直角MON内的部分）.所以短轴端点C到x轴距离最小，平行于x轴的切线的切点T到x轴距离最大，由此产生第三种解法.

联想4 视yQ=18（b+33a），a2+b2=16，为关于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

联想一元二次方程在指定区间上有解的条件又得一种解法.

上述几种联想引出的解法中，解法1是化二元函数为一元函数的常用方法，有一般指导意义.解法2充分利用条件的几何意义，通过数形转化，得到一种直观、简洁的解法.解法3是建立在联想已有习题结论的基础上，虽然直观，但缺乏普遍性.解法4也是求条件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制约，因此不是简单的使用“Δ法”，在这里显得比其它解法困难.充分展开联想，才能拓宽解题思路.及时评价每种联想引出的方法，既能优化解题过程又有利于加深对有关数学知识和方法的理解，使思维能力向更高层次发展。5 在对命题隐含条件的发掘和揭示中培养思维的深刻性

在数学命题中，有很多命题的数量关系与空间形式都隐藏在已知条件和结论中，往往需要对问题的深入分析和深刻理解才能发现，因此，对隐含条件的发掘同样也是培养学生思维深刻性的一种手段.

例3 已知定义域为正实数集的函数f（x）为递减函数，且满足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔细观察和分析已知条件，就会发现隐含条件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隐含条件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根据定义域的隐含条件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在归纳问题的一般规律中培养思维的深刻性

中学课本中，有不少例题、习题往往是某一问题的特例，这就为培养思维深刻性提供了方便，因此教学中，积极引导学生广泛联想，对这些特例作适当引伸、探索，揭示问题的一般规律，总结一般方法.使学生养成解题后再思考的习惯，逐步增强由特殊到一般的抽象概括能力，从而培养思维的深刻性.

例如，在讲二项式定理时，可以从（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展开式讲起，让学生体会到随着n的增加，（x+a）n的展开式将越来越复杂，

因此有必要研究展开式的规律性，继而引导学生从特殊到一般，由具体到抽象，自己探索发现（x+a）n的展开式的规律.又如，有一道竞赛题：“将正整数19分解成若干个正整数的和，使这些正整数的积最大”，做完这道题后，引导学生由特殊到一般，分析研究分解的规律，进而解决“将任意一个正整数n分解为若干个正整数的和，使其积最大”的问题.

培养思维的深刻性是数学教学的一项重要任务，必须落实到教学的各个环节中，长期坚持，积极探索.思维深刻性的培养还必须和其它思维品质的培养有机地结合起来，才能形成良好的思维品质.

作者简介 卢学谦，男，1966年8月生，中学高级教师.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世纪优秀青年科技人才称号； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市优秀共产党员”称号； 2013年10月被中国数学会授予全国高中数学联合竞赛优秀教练员称号；2014年被评为全国优秀教师.

设|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

则A、B的坐标分别为（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分点公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值时，可以沿下列方向进行联想：

联想1 yQ是关于a、b的二元函数，设法转化成一元函数.根据a、b之间的关系依靠三角代换解决.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

联想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐标平面内表示四分之一圆周，将目标函数改写成b=-33a+3y，则表示斜率为-33的平行直线系.那么问题转化为求与14圆周有公共点的直线系中在b轴上截距的最值，显然相切时，截距3y最大，过（0，4）点时，3y最小，产生了本题的几何解法.

联想3 联想到熟知的习题，定长线段上的定点，当线段两端在直角边上滑动是，定点轨迹是椭圆.因此Q点的轨迹是以O为中心、长短轴分别在OM、ON上的椭圆（夹在直角MON内的部分）.所以短轴端点C到x轴距离最小，平行于x轴的切线的切点T到x轴距离最大，由此产生第三种解法.

联想4 视yQ=18（b+33a），a2+b2=16，为关于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

联想一元二次方程在指定区间上有解的条件又得一种解法.

上述几种联想引出的解法中，解法1是化二元函数为一元函数的常用方法，有一般指导意义.解法2充分利用条件的几何意义，通过数形转化，得到一种直观、简洁的解法.解法3是建立在联想已有习题结论的基础上，虽然直观，但缺乏普遍性.解法4也是求条件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制约，因此不是简单的使用“Δ法”，在这里显得比其它解法困难.充分展开联想，才能拓宽解题思路.及时评价每种联想引出的方法，既能优化解题过程又有利于加深对有关数学知识和方法的理解，使思维能力向更高层次发展。5 在对命题隐含条件的发掘和揭示中培养思维的深刻性

在数学命题中，有很多命题的数量关系与空间形式都隐藏在已知条件和结论中，往往需要对问题的深入分析和深刻理解才能发现，因此，对隐含条件的发掘同样也是培养学生思维深刻性的一种手段.

例3 已知定义域为正实数集的函数f（x）为递减函数，且满足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔细观察和分析已知条件，就会发现隐含条件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隐含条件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根据定义域的隐含条件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在归纳问题的一般规律中培养思维的深刻性

中学课本中，有不少例题、习题往往是某一问题的特例，这就为培养思维深刻性提供了方便，因此教学中，积极引导学生广泛联想，对这些特例作适当引伸、探索，揭示问题的一般规律，总结一般方法.使学生养成解题后再思考的习惯，逐步增强由特殊到一般的抽象概括能力，从而培养思维的深刻性.

例如，在讲二项式定理时，可以从（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展开式讲起，让学生体会到随着n的增加，（x+a）n的展开式将越来越复杂，

因此有必要研究展开式的规律性，继而引导学生从特殊到一般，由具体到抽象，自己探索发现（x+a）n的展开式的规律.又如，有一道竞赛题：“将正整数19分解成若干个正整数的和，使这些正整数的积最大”，做完这道题后，引导学生由特殊到一般，分析研究分解的规律，进而解决“将任意一个正整数n分解为若干个正整数的和，使其积最大”的问题.

培养思维的深刻性是数学教学的一项重要任务，必须落实到教学的各个环节中，长期坚持，积极探索.思维深刻性的培养还必须和其它思维品质的培养有机地结合起来，才能形成良好的思维品质.

作者简介 卢学谦，男，1966年8月生，中学高级教师.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世纪优秀青年科技人才称号； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市优秀共产党员”称号； 2013年10月被中国数学会授予全国高中数学联合竞赛优秀教练员称号；2014年被评为全国优秀教师.