杨兴军

章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个基本点上：理解数学、理解学生、理解教学.其中，理解数学是指对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生是指对数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学是指对数学教学规律、特点的理解.‘三个理解是数学教师专业发展的基石.”

数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.

“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾

“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.

这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.

因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：

（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；

（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.

2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾

我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.

然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.

因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.

3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾

这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

结语 当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

结语 当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.

为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.

以下是笔者施教这一环节时的具体设计：

问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？

教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.

问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？

教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；

若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：

以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.

问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.

至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.

问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？

学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.

问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.

这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.

问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；

（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；

（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.

结语 当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.