张利

数学是思维的科学，培养学生的数学思维能力是高中数学教学的重要目标之一.新课程的基本数学理念就是“倡导积极主动，勇于探索的学习方式，并注重提高学生的数学思维与能力.”因此教师应该注意展现数学的思维过程和数学知识的形成过程，让学生体验探究的乐趣，进而让学生学会独立思考并灵活运用所学的知识去分析解决具体问题.笔者根据自己的教学实践，从三个方面加以说明。1 解题教学应有解题途径的探索过程.

在解题教学中，教师可通过启发性的提问，引导学生探索解题途径.下面是笔者的教学实录：图1问题 如图1，直线l：y=kx+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，抛物线上有一点M使得B、M、A三点横坐标成等差数列，求证：AB平行于抛物线在M处的切线.

师：首先，我们的解题目标是什么？

生：证明过M的切线与AB平行.

师：好，那如何证明两直线为平行直线呢？

生：只要证明他们的斜率相同就可以了.

师：直线AB的斜率与抛物线在M点的切线斜率如何表示？

生：直线AB的方程为y=kx+2，kAB=k.抛物线在M点的切线斜率就是y=2x2在M点的导数值，而y′=4x.由题意可知：xM=xA+xB2.联立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以抛物线在M处切线斜率为k.

师：很好！这样大家的解题目标就实现了.在刚才的解题过程中，我们借助于韦达定理将点M的坐标与k联系起来，那么除了这种方式，我们还有没有其它方法联系k和M的坐标呢？

生：设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根据两点坐标算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因为抛物线在M处切线斜率为：y′=4xM=k.所以抛物线在M处切线与AB平行.

师：对于这个问题我们采用了两种不同的方式，但殊途同归，实现了点M处导数与直线AB的斜率k间的转化。2 数学探究要有变式的探究过程.

探究课题的选择是完成探究学习的关键.课题的准确选择有助于加深学生对数学问题的理解、发挥学生的想象力和创造力、养成探究问题的意识.笔者认为，课题的选择要有深度，但不要超出学生现有的知识范围；同时，还要具有发散性，能发挥学生思维的广度.还是依上题为例：在学生得出kAB=k切后我接着提出了以下问题供学生思考：图2思考1 如图2，求△AOB面积的最小值.

探索：要想求最值，那首先应该解决如何表示S△AOB这一问题.

方法一 联立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根据弦长公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由点到直线的距离公式可知O到AB的距离为：d=21+k2.由以上讨论S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0时，S△AOB最小，最小值为2（因为Δ>；0，所以k∈R）.

方法二 如图3，采用分割的思想，先将三角形分成以OM为底边的两个三角形再求和，会得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程组y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0时达到最小.

这样就能让学生体验S△AOB的表示方法及函数的思想，让学生初步领略“解析”几何.图3 图4思考2 证明抛物线在A、B两点的切线的交点M的横坐标是xA、xB的等差中项.

证明 如图4，由（1）可知y′=4x.设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由题意AM，BM不垂直于x轴，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），两式相减可得交点坐标：xM=xA+xB2.更进一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此说明A、B两点处的切线交点恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，过点（0，2）的直线与抛物线交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点恒在y=-2上.基于此我们能不能大胆的猜想：任意直线l：y=kx+m与抛物线x2=2py交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点M的横坐标恒都是xA、xB的等差中项，且点M都在直线y=-m上呢？下面我们试证明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程组得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M点满足方程组：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

这样我们就证明了我们的猜想.而由思考二到思考三的过程就是一个由个别到一般的归纳证明过程，这也是我们由感性感知问题升华到缜密理性逻辑思维的过程.

思考4 刚才的问题反过来，即过直线y=-m上任一点M，作x2=2py的两条切线，切点分别为A、B，是否有xA+xB=2xM且直线AB过定点（0，m）呢？

设M（xM，-m），则y′=xp.设A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交点得：xM=xA+xB2.将M（xA+xB2，-m）带入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直线AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直线AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直线必过点（0，m）.思考四是思考三逆向探求的结果.3 要对探究过程进行知识和方法的总结.

对于上例，我们可以在最后形成一般性结论，在抛物线x2=2py的对称轴上任取一点（0，m）作直线交抛物线于A、B两点，则A、B两点处切线的交点为（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述结论形成对学生来说是分析探索的发现，是合情推理和演绎推理相结合的结晶.变式研究要以学生已有的知识结构为基础，通过变式探究有利于学生对所学知识进行更深刻、系统的理解和掌握，要适时、适度地把握时机，循序渐进，引导学生参与变式问题的提出过程，才能让学生在变式研究的过程中，体验和感悟数学探究的乐趣，从而培养学生的创新意识.

数学是思维的科学，培养学生的数学思维能力是高中数学教学的重要目标之一.新课程的基本数学理念就是“倡导积极主动，勇于探索的学习方式，并注重提高学生的数学思维与能力.”因此教师应该注意展现数学的思维过程和数学知识的形成过程，让学生体验探究的乐趣，进而让学生学会独立思考并灵活运用所学的知识去分析解决具体问题.笔者根据自己的教学实践，从三个方面加以说明。1 解题教学应有解题途径的探索过程.

在解题教学中，教师可通过启发性的提问，引导学生探索解题途径.下面是笔者的教学实录：图1问题 如图1，直线l：y=kx+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，抛物线上有一点M使得B、M、A三点横坐标成等差数列，求证：AB平行于抛物线在M处的切线.

师：首先，我们的解题目标是什么？

生：证明过M的切线与AB平行.

师：好，那如何证明两直线为平行直线呢？

生：只要证明他们的斜率相同就可以了.

师：直线AB的斜率与抛物线在M点的切线斜率如何表示？

生：直线AB的方程为y=kx+2，kAB=k.抛物线在M点的切线斜率就是y=2x2在M点的导数值，而y′=4x.由题意可知：xM=xA+xB2.联立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以抛物线在M处切线斜率为k.

师：很好！这样大家的解题目标就实现了.在刚才的解题过程中，我们借助于韦达定理将点M的坐标与k联系起来，那么除了这种方式，我们还有没有其它方法联系k和M的坐标呢？

生：设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根据两点坐标算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因为抛物线在M处切线斜率为：y′=4xM=k.所以抛物线在M处切线与AB平行.

师：对于这个问题我们采用了两种不同的方式，但殊途同归，实现了点M处导数与直线AB的斜率k间的转化。2 数学探究要有变式的探究过程.

探究课题的选择是完成探究学习的关键.课题的准确选择有助于加深学生对数学问题的理解、发挥学生的想象力和创造力、养成探究问题的意识.笔者认为，课题的选择要有深度，但不要超出学生现有的知识范围；同时，还要具有发散性，能发挥学生思维的广度.还是依上题为例：在学生得出kAB=k切后我接着提出了以下问题供学生思考：图2思考1 如图2，求△AOB面积的最小值.

探索：要想求最值，那首先应该解决如何表示S△AOB这一问题.

方法一 联立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根据弦长公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由点到直线的距离公式可知O到AB的距离为：d=21+k2.由以上讨论S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0时，S△AOB最小，最小值为2（因为Δ>；0，所以k∈R）.

方法二 如图3，采用分割的思想，先将三角形分成以OM为底边的两个三角形再求和，会得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程组y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0时达到最小.

这样就能让学生体验S△AOB的表示方法及函数的思想，让学生初步领略“解析”几何.图3 图4思考2 证明抛物线在A、B两点的切线的交点M的横坐标是xA、xB的等差中项.

证明 如图4，由（1）可知y′=4x.设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由题意AM，BM不垂直于x轴，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），两式相减可得交点坐标：xM=xA+xB2.更进一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此说明A、B两点处的切线交点恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，过点（0，2）的直线与抛物线交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点恒在y=-2上.基于此我们能不能大胆的猜想：任意直线l：y=kx+m与抛物线x2=2py交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点M的横坐标恒都是xA、xB的等差中项，且点M都在直线y=-m上呢？下面我们试证明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程组得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M点满足方程组：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

这样我们就证明了我们的猜想.而由思考二到思考三的过程就是一个由个别到一般的归纳证明过程，这也是我们由感性感知问题升华到缜密理性逻辑思维的过程.

思考4 刚才的问题反过来，即过直线y=-m上任一点M，作x2=2py的两条切线，切点分别为A、B，是否有xA+xB=2xM且直线AB过定点（0，m）呢？

设M（xM，-m），则y′=xp.设A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交点得：xM=xA+xB2.将M（xA+xB2，-m）带入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直线AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直线AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直线必过点（0，m）.思考四是思考三逆向探求的结果.3 要对探究过程进行知识和方法的总结.

对于上例，我们可以在最后形成一般性结论，在抛物线x2=2py的对称轴上任取一点（0，m）作直线交抛物线于A、B两点，则A、B两点处切线的交点为（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述结论形成对学生来说是分析探索的发现，是合情推理和演绎推理相结合的结晶.变式研究要以学生已有的知识结构为基础，通过变式探究有利于学生对所学知识进行更深刻、系统的理解和掌握，要适时、适度地把握时机，循序渐进，引导学生参与变式问题的提出过程，才能让学生在变式研究的过程中，体验和感悟数学探究的乐趣，从而培养学生的创新意识.

数学是思维的科学，培养学生的数学思维能力是高中数学教学的重要目标之一.新课程的基本数学理念就是“倡导积极主动，勇于探索的学习方式，并注重提高学生的数学思维与能力.”因此教师应该注意展现数学的思维过程和数学知识的形成过程，让学生体验探究的乐趣，进而让学生学会独立思考并灵活运用所学的知识去分析解决具体问题.笔者根据自己的教学实践，从三个方面加以说明。1 解题教学应有解题途径的探索过程.

在解题教学中，教师可通过启发性的提问，引导学生探索解题途径.下面是笔者的教学实录：图1问题 如图1，直线l：y=kx+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，抛物线上有一点M使得B、M、A三点横坐标成等差数列，求证：AB平行于抛物线在M处的切线.

师：首先，我们的解题目标是什么？

生：证明过M的切线与AB平行.

师：好，那如何证明两直线为平行直线呢？

生：只要证明他们的斜率相同就可以了.

师：直线AB的斜率与抛物线在M点的切线斜率如何表示？

生：直线AB的方程为y=kx+2，kAB=k.抛物线在M点的切线斜率就是y=2x2在M点的导数值，而y′=4x.由题意可知：xM=xA+xB2.联立y=2x2，

y=kx+2. 得：2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，故xM=k4，所以抛物线在M处切线斜率为k.

师：很好！这样大家的解题目标就实现了.在刚才的解题过程中，我们借助于韦达定理将点M的坐标与k联系起来，那么除了这种方式，我们还有没有其它方法联系k和M的坐标呢？

生：设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）（xA≠xB）.根据两点坐标算斜率公式可知：k=2x2B-2x2AxB-xA=2（xA+xB）=4xM，因此xM=k4.又因为抛物线在M处切线斜率为：y′=4xM=k.所以抛物线在M处切线与AB平行.

师：对于这个问题我们采用了两种不同的方式，但殊途同归，实现了点M处导数与直线AB的斜率k间的转化。2 数学探究要有变式的探究过程.

探究课题的选择是完成探究学习的关键.课题的准确选择有助于加深学生对数学问题的理解、发挥学生的想象力和创造力、养成探究问题的意识.笔者认为，课题的选择要有深度，但不要超出学生现有的知识范围；同时，还要具有发散性，能发挥学生思维的广度.还是依上题为例：在学生得出kAB=k切后我接着提出了以下问题供学生思考：图2思考1 如图2，求△AOB面积的最小值.

探索：要想求最值，那首先应该解决如何表示S△AOB这一问题.

方法一 联立y=2x2，

y=kx+2， 消元得2x2-kx-2=0，由韦达定理得：xA+xB=k2，

xA·xB=-1.根据弦长公式可得：

AB=1+k2·（xA+xB）2-4xAxB=121+k2·k2+16.

由点到直线的距离公式可知O到AB的距离为：d=21+k2.由以上讨论S△AOB=12AB·d=k2+162.因此k=0时，S△AOB最小，最小值为2（因为Δ>；0，所以k∈R）.

方法二 如图3，采用分割的思想，先将三角形分成以OM为底边的两个三角形再求和，会得到S△AOB=12OM·（xA+xB）=12OM·（xB-xA），由方程组y=2x2，

y=kx+2， 消元可得：2x2-kx-2=0.由xB-xA=（xA+xB）2-4xAxB，可得：

S△AOB=k2+162≥2，k=0时达到最小.

这样就能让学生体验S△AOB的表示方法及函数的思想，让学生初步领略“解析”几何.图3 图4思考2 证明抛物线在A、B两点的切线的交点M的横坐标是xA、xB的等差中项.

证明 如图4，由（1）可知y′=4x.设A（xA，2x2A），B（xB，2x2B）.由题意AM，BM不垂直于x轴，

AM：y-2x2A=4xA（x-xA），

BM：y-2x2B=4xB（x-xB），两式相减可得交点坐标：xM=xA+xB2.更进一步可得，yM=4xA·xA+xB2-2x2A=2xAxB=-2.由此说明A、B两点处的切线交点恒在y=-2上.

思考3 由思考2得，过点（0，2）的直线与抛物线交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点恒在y=-2上.基于此我们能不能大胆的猜想：任意直线l：y=kx+m与抛物线x2=2py交于A、B两点，则A、B两点处的切线的交点M的横坐标恒都是xA、xB的等差中项，且点M都在直线y=-m上呢？下面我们试证明一下：

一般地，由y′=xp，可得：AM：y=x1px-x212p，

BM：y=x2px-x222p. 求解方程组得：xM=x1+x22，

yM=x1·x22p.

又M点满足方程组：x2=2py，

y=kx+m，消y得x2-2pkx-2pm=0，因此yM=x1·x22p=-m.

这样我们就证明了我们的猜想.而由思考二到思考三的过程就是一个由个别到一般的归纳证明过程，这也是我们由感性感知问题升华到缜密理性逻辑思维的过程.

思考4 刚才的问题反过来，即过直线y=-m上任一点M，作x2=2py的两条切线，切点分别为A、B，是否有xA+xB=2xM且直线AB过定点（0，m）呢？

设M（xM，-m），则y′=xp.设A（xA，x2A2p），B（xB，x2B2p），可得：AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），

BM：y-x2B2p=xBp（x-xB），求交点得：xM=xA+xB2.将M（xA+xB2，-m）带入方程AM：y-x2A2p=xAp（x-xA），可得xA·xB=-2pm.直线AB斜率k=yB-yAxB-xA=12p（xA+xB），直线AB方程是y-x2A2p=12p（xA+xB）（x-xA）.整理得：

y=12p（xA+xB）·x-xA·xB2p=12p（xA+xB）·x+m，即直线必过点（0，m）.思考四是思考三逆向探求的结果.3 要对探究过程进行知识和方法的总结.

对于上例，我们可以在最后形成一般性结论，在抛物线x2=2py的对称轴上任取一点（0，m）作直线交抛物线于A、B两点，则A、B两点处切线的交点为（xA+xB2，-m）反之也成立.

上述结论形成对学生来说是分析探索的发现，是合情推理和演绎推理相结合的结晶.变式研究要以学生已有的知识结构为基础，通过变式探究有利于学生对所学知识进行更深刻、系统的理解和掌握，要适时、适度地把握时机，循序渐进，引导学生参与变式问题的提出过程，才能让学生在变式研究的过程中，体验和感悟数学探究的乐趣，从而培养学生的创新意识.