冯 丽

（大连海洋大学职业技术学院，辽宁 大连 116300）

0.引言

“高等教育的任务是培养具有创新精神和实践能力的高级专门人才，发展科学技术文化，促进社会主义现代化建设”。高等教育正朝着多样化方向发展，从单一结构向多种结构演化，这是当今世界高等教育改革的重要态势之一。而现代科技与生产的发展，是以综合化为基本特征的，反映到高等教育中就是课程的综合化。所谓课程的综合化，就是使基础教育和专业教育、应用研究和开发研究相互渗透、交叉进行，目的在于培养学生适应社会发展的需要和具有解决复杂课题的技能。

目前，学科教育不利于人才培养，如在高等数学的函数教学中，函数表达式模型脱离专业课程，学生学习无的放矢，而在专业教学中对建立函数模型又缺乏有力的数学分析，造成基础课与专业课既分层又分家。下面以材料力学的弯曲变形为例，浅议弯曲内力函数的数学分析。

1.弯曲内力方程与数学函数

1.1 弯曲内力函数定义

在通常情况下，材料力学弯曲变形梁横截面上的内力是随着横截面的位置变化而变化的。设横截面沿梁轴线的位置用水平坐标表示，则梁各截面上的剪刀和弯矩可表示为坐标的函数，即

式（1）和式（2）分别称为剪力方程和弯矩方程。坐标x的原点一般取在梁的端面处，坐标x轴线平行于梁轴线。当梁上有多种载荷同时作用时，载荷发生变化的起讫点称为界点。如集中力的和集中力偶的作用点，均布载荷的起讫点和梁的支撑点等。界点之间的距离简称“段”，当梁上各段的剪力或弯矩不能用同一个方程表示时，则应该分别写出各段梁的剪力方程或弯矩方程。其中每段又可称为梁的一个力区。

为了表明梁上各截面的剪力和弯矩沿轴线的变化情况，通常绘出梁的剪力图和弯矩图，在数学分析中称为函数图象。以横截面上的剪力或弯矩值用纵坐标表示，以横截面位置为横坐标用x表示，能绘出FQ或M（x）的函数图象，此图形称为剪力图和弯矩图。正值剪力和弯矩画在x轴上侧，负值剪力和弯矩画在x轴下侧。另外，通过截面法不难确定：某截面上剪力等于截面任意一侧所有垂直轴线外力的代数和，约定绕截面顺时针转动为正值，反之为负值；某截面上的弯矩等于截面任意一侧所有外力对该截面力矩的代数和，约定使轴线产生变形∪为正力矩，使轴线产生变形∩为负力矩。

1.2 函数的间断点及其分类

在高等数学中，分段函数界点上存在第一类间断点，即跳跃间断点或可去间断点；第二类间断点，即无穷间断点或振荡间断点。

关于间断点定义：设函数 f（x）在 U（x^0，δ）内有定义（在点 x0处可以无定义），如果函数 f（x）在点 x0处不连续，则称点 x0为函数f（x）的一个间断点（或不连续点）。

关于间断点的分类：设 x0为函数 f（x）的一个间断点，第一类间断点 f（x0-0）、f（x0+0）都存在，（1）若f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在，此类间断点称为可去间断点。 函数 f（x）在点 x0无定义，函数 f（x）在点x0有定义，但f（x）≠f（x0）。 （2）若 f（x0-0）≠f（x0+0），即f（x）不存在，此类间断点称为跳跃间断点。第二类间断点，f（x0-0）与 f（x0+0）中至少有一个不存在。 其中有两类特殊的间断点：无穷间断点和振荡间断点。

2.弯曲内力函数的数学分析

上述弯曲内力方程与数学函数存在一致性，在教学中应当相互渗透，即在数学教学中引入内力函数，在力学教学中强化数学分析，达到知识整合的目的。如图-1（a）所示外伸梁，在C点作用有集中力偶，CD段受均布载荷，D点有集中力F，尺寸如图-1（a）所示。已知M=16kN.m，F=2kN，q=2kN/m。试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

图-1梁外力、内力图

2.1 外力分析

根据静力学平面力系的平衡条件，不难求出外伸梁A、B处约束反力，即

求出约束反力分别为 FA＝7.2kN，FB＝14.8kN.

2.2 建立剪力、弯矩函数方程

因为全梁在A、C、B和D点处发生载荷变化。出现四个界点，需要分三个区段列出剪力方程和弯矩方程：

根据上述内力函数方程不难画出剪力图和弯矩图，如图-1（a）、（b）所示。

2.3 对剪力、弯矩方程的数学分析

式（1）为水平线剪力方程，区段界点是第一类跳跃间断点，符合 f（x0-0）≠f（x0+0），即f（x）不存在；式（2）为斜直线弯矩方程，区段界点是第一类可去间断点，符合 f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在；式（4）、（6）为抛物线弯矩方程，区段界点是第一类间断点，只有式（4）左端为跳跃间断点，符合 f（x0-0）≠f（x0+0），其余符合 f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在，因抛物线弯矩方程二次项系数为负值，故抛物线开口向下，如图-1（c）所示。

梁在 CB段内弯矩存在极值，应通过对式（4）求出导数等于零，即=7.2-2（x2-2）=0，便求出弯矩极值位置x2=5.6m，再回代式（4），得弯矩极值大弯矩值为11.4kN.m，如图-1（c）所示。综合考虑微分关系，可得到下述作剪力、弯矩图规律。

（1）对剪力图，有均布荷载 q就有斜直线，当 q↓时，剪力 FQ（x）斜线为（），当 q↑时，剪力 FQ（x）的斜线（/），有集中力就有突变，突变值等于集中力，有集中力偶，在集中力偶作用处其剪力值不变。

（2）对弯曲矩图，有均布荷载就有抛物线，当q↓时，弯矩（M）的图形∩，当q↑时，M图形为∪，有集中力就有转折点，集中力处两侧的弯矩值不变，有集中力偶矩就有突变，突变值等于集中力偶矩。

（3）剪力等零处，弯矩图有极值。综合利用这些关系和规律，不仅可以快捷地检验绘出的FQ（x）和M（x）图正确与否，如熟练掌握后还可以直接绘制FQ（x）和M（x）图。这一方法在工程实际中广泛应用。

3.结语

整合课程教学有利于复合型人才的培养，高等数学与工程力学这两门课程，分层不能分家，上述教学实践，已经证明效果良好。当今，高等教育课程的综合化已为许多国家所重视，由于采取了一系列行之有效的举措，高等教育在课程改革方面已取得了显著成效。

［1］孙训方，方孝淑.材料力学（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［3］郑长波.高等数学［M］.大连：大连理工大学出版社，2004.

［4］刘文顺.弹性介质上变截面压杆的稳定分析［J］.焦作大学学报，2007，21（1）：86－91.