樊宏标

纵观近几年高考，以导数为工具的试题，可谓亮点纷呈，尤其是利用导数解决函数的单调性、极值、闭区间上的最值以及参数的取值范围等问题，越来越受到命题者的青睐.本文归纳了导数应用的五大特点，与同学们分享.

一、研究函数的单调性——导数应用的基本点

例1. 已知可导函数f（x）（x∈R）满足f '（x）>f（x），则当a>0时，f（a）与eaf（0）之间的大小关系为（ ）

A. f（a）eaf（0）

C. f（a）=eaf（0） D. 不能确定，与或有关

解析：作函数F（x）=（x∈R），有F '（x）=>0因此F（x）是R上的单调增函数.

从而，对a>0，由F（a）>F（0），得>，得f（a）>eaf（0）.故选B.

评注：此题首先构造函数F（x），再利用导数来研究F（x）的单调性，从而根据单调性来比较函数值的大小.一般地，若f（x）在（a，b）上满足f '（x）>0，则f（x）在（a，b）上单调递增；若f（x）在（a，b）上满足f '（x）<0，则f（x）在（a，b）上单调递减.

例2. 直角坐标平面bOa上的点集S={（b，a）|f（x）=ax3+bx2-3x为R上的单调函数}，求a，b所满足的关系式.

解析：当a=0时，由f（x）在R上单调，知b=0.

当a≠0时，f（x）在R上单调圳f '（x）在R上不变号.

因为f '（x）=3ax2+2bx-3，所以，由驻=4b2+36a≤0，得a≤-b2.

综上可知，a，b所满足的关系式为a≤-b2.

评注：函数的单调性可由导数值的符号反映出来，若f（x）在（a，b）上单调，则f '（x）在（a，b）上恒有f '（x）≥0或f '（x）≤0.

二、求函数的解析式——导数应用的亮点

例3. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则实数对（a，b）为 .

解析：f '（x）=3x2+2ax+b，由函数在x=1处取得极值10，得f '（1）=0，f（1）=10，即3+2a+b=0，1+a+b+a2=10，解得a1=4，b1=-11，a2-3，b2=3.

把（a，b）=（4，-11）代入，有f（x）=x3+4x2-11x+16，f '（x）=3x2+8x-11=（x-1）（3x+11），可得f（x）在x=1时有最小值10.

把（a，b）=（-3，3）代入，有f（x）=x3-3x2+3x+9，f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0.

知f（x）在R上恒单调递增，故x=1不是f（x）的极值点.

综上，实数对（a，b）的值为（4，-11）.

评注：从此题可以看出，f '（x）=0的值只是极值点的必要条件，而非充分条件，也即导数为零的点不一定是极值点.

三、求极值与最值——导数应用的重点

例4. 设函数f（x）=x-k（x≥1，为给定的实数，0

解析：当x>1时，f（x）的导数是f '（x）=1-.

令f '（t）=0，当t>1时，解得t=.

于是，f（t）=f（）=，f（1）=1.

对f（x）的取值列表如下：

∴f（x）极小值……