李芳

［摘要］ 已知三角形的一角及其对边，满足条件的三角形不唯一确定，已知角的顶点可以在已知边为弦的圆周上运动，因此可用圆的基本性质来解题. 本文试图通过一些典型例题来培养学生的观察能力以及认真思考的习惯.

［关键词］ 圆的基本性质；解三角形；典型例题；培养观察能力

初中数学中，一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 解三角形时，三角函数是最常用的知识. 若已知三角形的一角及其对边，进行有关计算，学生往往会思维定式，想到三角函数，想到添加高线，但这样只会走进死胡同，一筹莫展. 回过头来思考，已知三角形的一角及其对边，满足条件的三角形是不唯一确定的，已知角的顶点可以在已知边为弦的圆周上运动，如图1所示，△ABC和△ABD都是满足条件的三角形，这样我们就可用圆的基本性质来解题了.

这类问题往往出现在填空和解答压轴题中，先看典型的一例.

例1 如图2所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），C（6，3），D（0，3），点P为线段CD上一点，且∠APB=45°，则点P的坐标为______.

解析?摇 问题可归结到△ABP中，AB=4，AB的对角∠APB=45°，则点P在以AB为弦且AB所对圆心角为90°的⊙F上，因为点P为线段CD上一点，所以点P为⊙F与线段CD的交点.可用圆的基本知识构造如图3的图形，连结AF，BF，PF，过点F作FE⊥AB，垂足为点E，延长EF交CD于点G. 因为∠APB=45°，所以∠AFB=90°，得△ABF为等腰直角三角形. 由AB=4可求得AE=EF=■AB=2，PF=AF=AB·sin45°=2■，所以OE=3，FG=1. 在Rt△GFP中，由勾股定理可得PG=■，所以DP=DG+PG=OE+PG=3+■，DP ′=DG-GP ′=OE-PG=3-■，这就确定了点P的横坐标，从而得满足条……