粟高军

1 随机事件的概率

（ ）必做1 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是 .

（1）求n的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0，2]内任取实数x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

破解思路 （1）n的值可通过“等概率性”直接求解. （2）第①小题的基本事件数为有限个，属于古典概型问题，可分为第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球两种情况来求概率. 第②小题中x，y两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于“测度”为面积的几何概型问题.

精妙解法 （1）由题意可得 = = ，解得n=2.

（2）①由于是不放回地抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球. 所以P（A）= = = .

②记“x2+y2>（a-b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立. （x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}；而事件B构成的区域B={（x，y）x2+y2>4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）= =1- .

误点警示 古典概型中基本事件数一般是通过分类求解，要注意“有放回”与“无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别；利用几何概型求概率时，要注意寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，更要注意“测度”为面积型与长度型的准确判定.

（ ）必做2 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙、丙做对的概率分别为m，n（m>n），且三位学生是否做对相互独立. 记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：