赵攀峰

1 直线方程及位置关系

（ ）必做1 动点M（x，y）满足 =xsinα+ycosα-1（其中α为常数），那么动点M的轨迹是（ ）

A. 直线 B. 圆

C. 双曲线 D. 抛物线

精妙解法 动点M（x，y）的几何意义是到定点P（sinα，cosα）的距离等于到定直线l：xsinα+ycosα-1=0的距离，又P∈l，所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线. 故选A.

（ ）必做2 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是__________.

精妙解法 AB的中点为（1，2），直线AB的垂直平分线方程为y-2= （x-1），将其与欧拉线方程联立，解得外心（-1，1）. 设C（a，b），则重心G ， ，有 = +2，即b=a+4. 又AB的中点与外心的距离为 ，AB的中点与A的距离为 ，所以在由外心、点A、AB的中点组成的直角三角形中，点A到外心的距离为 ，即点C到外心的距离为 ，所以（a+1）2+（b-1）2=10，解得a=-4，b=0或a=0，b=4（舍），所以C（-4，0）.

（ ）必做3 在平面直角坐标系中，动点P（a，b）到直线l1：y=3x和l2：y=- x的距离之和为4，则 的最小值为________.

精妙解法 法1：由题意可知：d1= ，d2= ，且d1+d2=4，即 =4，则有10（a2+b2）+23a-ba+3b=160.

因为160≤10（a2+b2）+（3a-b2+a+3b2）=20（a2+b2），则a2+b2≥8， 的最小值为2 .

法2：由于l1，l2互相垂直，则P（a，b）到两直线的距离之和即为一个矩形的两直角边长的和. 可设两边长分别为x，y，则x+y=4，而OP2=x2+y2，则由不等式的知识可得：

x2+y2≥2· =2×4=8，即OP2=a2+b2≥8，得解.

法3：由于l1，l2互相垂直，可将其看做是直角坐标系. 在直角坐标系内，到两坐标轴的距离之和为4的轨迹是直线x+y=4， 的最小值即等价于从O到直线的距离最小，那么即为过O引直线的垂线，即dmin=2 .

金刊提醒

直线方程常与方程（组）相联系，依据题意转化为方程组求解，注意此处知识的交汇，两直线的位置关系要做到数……