汤小梅

1 平面向量与平面几何和解析几何

（ ）必做1 在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若 =sinθ· ， =cosθ· ，其中θ∈0， .

（1）求sin2θ的值；

（2）记△OMN的面积为S ，平行四边形OABC的面积为S，试求 的值.

破解思路 此题既涉及向量的加减运算，又综合了三角公式化简，是向量与三角、解三角形的交汇题，彰显向量在解平面几何问题时的工具价值.

精妙解法 （1）由题意可得 = = - ，

所以 = - = -（1+sinθ）· .

又 = - =cosθ· -sinθ· ，M，N，C三点共线，

所以 = ，则sinθ-cosθ=sinθ·cosθ ①.

①式两边平方，得1-2sinθ·cosθ=sin2θ·cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.

解得sin2θ=2 -2或-2 -2（舍去）.

（2）由题意得S = · ·sin∠AOB= sin2θ·S = S，即 = .

极速突击 重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点.

（ ）必做2 如图1，已知椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.

破解思路 先由解析几何的知识得到向量的坐标，进而借助向量的数量积的坐标运算完成解答.

精妙解法 由已知可得A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8.

设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M2， .

由M在椭圆上，得t=6，故点M的坐标为M（2，3）.

所以 =（-6，-3）， =（2，-3）， · =-12+9=-3，

所以cos∠AMB= = =- ，

即∠AMB的余弦值为- （用余弦定理也可求得）.？摇

极速突击 用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，值得同学们重视.

金刊提醒

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量可转换性解决问题.

2 平面向量与三角函数