陈肖敏

1 导数与函数

（ ）必做1 已知函数f（x）=eax· +a+1，其中a≥-1.

（1）求f（x）的单调递减区间；

（2）若存在x1>0，x2<0，使得f（x1）

破解思路 第（1）问求出导数后，分a=-1，-10求出单调递减区间. 第（2）问注意理解条件是存在x1>0，x2<0，使得f（x1）

精妙解法 （1）由已知得f′（x）=aeax· .

①当a=-1时，令f′（x）=0，解得x= -1.

f（x）的单调递减区间为（-x，-1）；单调递增区间为（-1，0），（0，+∞）.

当a≠-1时，令f′（x）=0，解得x=-1，或x= .

②当-1

③当a=0时，f（x）为常值函数，不存在单调区间.

④当a>0时，f（x）的单调递减区间为（-1，0），0， ；单调递增区间为（-∞，-1）， ，+∞.

（2）①当a>0时，若x∈（0，+∞），f（x）min=f =e （a+1）2>1，而x∈（-∞，0），f（x）max=f（-1）=e-a<1，不符合题意.

②当a=0时，显然不符合题意.

③当-10，符合题意.

④当a=-1时，取x1=1，则f（x ）=-e-1<0；取x2=-1，则f（x2）=e>0，符合题意.

综上，a的取值范围是[-1，0）.

极速突击 讨论函数的单调性，其实质就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式或一元分式不等式的解集的讨论. 当能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小直接求解，若此时含有参数，则需分类讨论；当不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 讨论时千万不要忽视定义域的限制.

利用导数研究函数单调性的步骤：①求导数f′（x）；②在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0；③根据②的结果确定函数f（x）的单调区间.

运用导数研究函数的单调性时，若涉及含参数的不等式，则需要进行分类讨论.

误点警示 本题要对参数a进行分类讨论，以a=-1与a=0作为分类标准，再对-10进行讨论，要做到不重不漏.

（ ）必做2 已知函数f（x）=2ax+ +lnx，

（1）若函数f（x）在x=1，x= 处取得极值，求a，b的值；

（2）若f ′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围.

破解思路 （1）只要严格按照极值存在的充要条件去分析就可以；（2）条件f ′（1）=2不但给……