张志旺

数学教育的根本目的是培养学生的各种数学能力，包括数学思维能力、数学计算能力、数学创造性思维能力等.这些能力需要从多渠道、多角度去培养.数学教学中所研究的创新思维，一般是指对思维主体来说，是新颖独到的一种思维活动，它包括发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题等思维过程.那么，在数学教学中应如何培养学生的创造性思维能力呢？

一、注重学生逆向思维的培养

逆向思维是数学的一种重要思维方式.它是在研究问题时从反面观察事物，去做到与习惯性的思维方向完全相反的探索，当反复思考某个问题陷入困境时，逆向思维能使人茅塞顿开，出奇制胜.数学上的反证法往往离不开思维的逆向性，先假设结论不成立，然后经过一系列正确、严密的推理，导出自相矛盾的结论，这就证明了与结论相反的假设不成立，从而肯定了原来结论是正确的.

【例1】 证明：素数有无限个.

证明：假设素数只有有限个，设为p1、p2、…、pn.考查数p1p2…pn+1，它或者是一个素数，显然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它为合数，则包含有异于p1、p2、…、pn的素因子.无论哪种情形，总还有另外的素数存在，这与假设相矛盾，从而素数有无限个.

用逆向思维来考虑数学问题，不但可使我们对问题认识得更加清楚，对知识点掌握得更加牢固，而且常常使问题大大简化，起到事半功倍的效果.

二、注意化归意识，激发学生的创造力

化归意识是在解决问题的过程中，有意识地对问题进行“联想——转化”，将未知问题转化为易于解决或已经解决的问题的思维活动.化归意识的培养，不仅有助于实际问题的解决，而且有助于养成自觉地联想、自觉地调整思维方向的钻研精神和思考习惯，有助于创造能力的培养.

【例2】 一个农民有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？

我们可以假想这样一种奇特的现象：所有的鸡都抬起了一只脚，同时所有的兔子也仅用后腿站立在地上.显然，问题就容易多了，现在鸡的头的数目与脚的数目是相等的，如果有一只兔子，脚的数目就要比头的数目大1，所以脚的数目（70）与头的数目（50）的差（20）就等于兔子的数目.于是可知有兔子20只，鸡30只.这种化归思想方法很巧妙，它是把问题的已知条件进行变形，以达到化归的目的，进而创造性地解决问题.

三、广开思路，培养学生的发散思维

发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程.数学上的新思维、新理论和新方法往往来源于发散思维.有人用“创造能力=知识量×发散思维”这个公式来估计一个人的创造能力.可见，加强发散思维的训练是培养学生创造能力的重要方法.

在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手.比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等.

【例3】 用6根火柴，要求摆出4个三角形，怎么摆？

一种思维方式：每个三角形三条边需3根火柴，4个三角形需12根火柴，怎么办？共边！以1个三角形为中心与另外3个三角形各共一边，可以减少3根火柴，这样就只需9根火柴，还要减少3根，怎么办？

另一种思维方式：先用3根火柴摆1个三角形，然后把剩下的3根架在这个三角形的上方，4个三角形就出来了.

前一种思维方式把自己局限在平面上，后一种思维方式就无拘无束，将思维扩展到空间.

四、注重培养学生的观察力

观察是信息输入的通道，是思维探索的大门.敏锐的观察力是创造性思维的起步器.可以说，没有观察就没有发现，更不能有创造.观察能力是在学习过程中培养的.那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？

首先，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求.其次，要在观察中及时指导.比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等.第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察.第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣.

五、大胆猜想，注重对学生想象力的培养

数学中的猜想能力，是一种高级的创造性思维形式.想象不同于胡思乱想.数学想象一般有以下几个基本要素：（1）因此要有扎实的基础知识和丰富的经验的支持；（2）要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力；（3）要有执著追求的情感.因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识.其次，新知识的产生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象.另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等.正如牛顿所说的：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”

数学上的许多创造就是以猜想为前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数之和”就是一个典型的例子.比如：容易从“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素数，然而其和“12，30，136…”都是偶数，是否有一规律：任何两个奇素数之和都是偶数？这点很容易肯定并加以证明.但是反过来想想，任何一个偶数，是否都能分解为两个奇素数之和？对“即使很大”的偶数是可以实际验证一下，然而能严格证明吗？这就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重诱发学生的数学灵感

科学家把导致发明创造的敏感称为“高级灵感”，我们把在数学学习中赖以发现、解决数学问题的那种突然发生的直觉思维叫做“初级灵感”.它大体是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路.它是认识上质的飞跃.灵感的发生往往伴随着突破和创新.

在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定.同时，还应诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口.

例如，有这样的一道题：把-311、-623、-1247、-417用“>”号排列起来.对于这道题，学生通常都是采用先通分再比较的方法，但由于公分母太大，解答非常麻烦.有位学生因近视看不清黑板上的字，就回过头去看后面的同学所抄写的，他看到的是倒字，这一现象使他灵机一动：化为同分子分数，再比较大小.这个触景生情的“灵机一动”，就是一种“初级灵感”.

因此，在教学中教师应对学生长期进行敢于想象、敢于创新、敢于打破常规的训练，促使学生想象能力的不断提高.

在数学教学过程中，要强调学生学会多方面观察事物，学会数学知识和方法，学会思考和探索，学会猜想，发现问题、解决问题，以此培养学生的数学能力和创造性思维.

参考文献

[1]张奠宙.数学教育中的“创新”工程大纲[J].数学教学，1999（4）.

[2]任勇.数学学习指导与教学艺术[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中学数学解题论导引[M].合肥：合肥工业大学出版社，2006.

（责任编辑 黄春香）

数学教育的根本目的是培养学生的各种数学能力，包括数学思维能力、数学计算能力、数学创造性思维能力等.这些能力需要从多渠道、多角度去培养.数学教学中所研究的创新思维，一般是指对思维主体来说，是新颖独到的一种思维活动，它包括发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题等思维过程.那么，在数学教学中应如何培养学生的创造性思维能力呢？

一、注重学生逆向思维的培养

逆向思维是数学的一种重要思维方式.它是在研究问题时从反面观察事物，去做到与习惯性的思维方向完全相反的探索，当反复思考某个问题陷入困境时，逆向思维能使人茅塞顿开，出奇制胜.数学上的反证法往往离不开思维的逆向性，先假设结论不成立，然后经过一系列正确、严密的推理，导出自相矛盾的结论，这就证明了与结论相反的假设不成立，从而肯定了原来结论是正确的.

【例1】 证明：素数有无限个.

证明：假设素数只有有限个，设为p1、p2、…、pn.考查数p1p2…pn+1，它或者是一个素数，显然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它为合数，则包含有异于p1、p2、…、pn的素因子.无论哪种情形，总还有另外的素数存在，这与假设相矛盾，从而素数有无限个.

用逆向思维来考虑数学问题，不但可使我们对问题认识得更加清楚，对知识点掌握得更加牢固，而且常常使问题大大简化，起到事半功倍的效果.

二、注意化归意识，激发学生的创造力

化归意识是在解决问题的过程中，有意识地对问题进行“联想——转化”，将未知问题转化为易于解决或已经解决的问题的思维活动.化归意识的培养，不仅有助于实际问题的解决，而且有助于养成自觉地联想、自觉地调整思维方向的钻研精神和思考习惯，有助于创造能力的培养.

【例2】 一个农民有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？

我们可以假想这样一种奇特的现象：所有的鸡都抬起了一只脚，同时所有的兔子也仅用后腿站立在地上.显然，问题就容易多了，现在鸡的头的数目与脚的数目是相等的，如果有一只兔子，脚的数目就要比头的数目大1，所以脚的数目（70）与头的数目（50）的差（20）就等于兔子的数目.于是可知有兔子20只，鸡30只.这种化归思想方法很巧妙，它是把问题的已知条件进行变形，以达到化归的目的，进而创造性地解决问题.

三、广开思路，培养学生的发散思维

发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程.数学上的新思维、新理论和新方法往往来源于发散思维.有人用“创造能力=知识量×发散思维”这个公式来估计一个人的创造能力.可见，加强发散思维的训练是培养学生创造能力的重要方法.

在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手.比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等.

【例3】 用6根火柴，要求摆出4个三角形，怎么摆？

一种思维方式：每个三角形三条边需3根火柴，4个三角形需12根火柴，怎么办？共边！以1个三角形为中心与另外3个三角形各共一边，可以减少3根火柴，这样就只需9根火柴，还要减少3根，怎么办？

另一种思维方式：先用3根火柴摆1个三角形，然后把剩下的3根架在这个三角形的上方，4个三角形就出来了.

前一种思维方式把自己局限在平面上，后一种思维方式就无拘无束，将思维扩展到空间.

四、注重培养学生的观察力

观察是信息输入的通道，是思维探索的大门.敏锐的观察力是创造性思维的起步器.可以说，没有观察就没有发现，更不能有创造.观察能力是在学习过程中培养的.那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？

首先，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求.其次，要在观察中及时指导.比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等.第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察.第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣.

五、大胆猜想，注重对学生想象力的培养

数学中的猜想能力，是一种高级的创造性思维形式.想象不同于胡思乱想.数学想象一般有以下几个基本要素：（1）因此要有扎实的基础知识和丰富的经验的支持；（2）要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力；（3）要有执著追求的情感.因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识.其次，新知识的产生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象.另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等.正如牛顿所说的：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”

数学上的许多创造就是以猜想为前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数之和”就是一个典型的例子.比如：容易从“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素数，然而其和“12，30，136…”都是偶数，是否有一规律：任何两个奇素数之和都是偶数？这点很容易肯定并加以证明.但是反过来想想，任何一个偶数，是否都能分解为两个奇素数之和？对“即使很大”的偶数是可以实际验证一下，然而能严格证明吗？这就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重诱发学生的数学灵感

科学家把导致发明创造的敏感称为“高级灵感”，我们把在数学学习中赖以发现、解决数学问题的那种突然发生的直觉思维叫做“初级灵感”.它大体是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路.它是认识上质的飞跃.灵感的发生往往伴随着突破和创新.

在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定.同时，还应诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口.

例如，有这样的一道题：把-311、-623、-1247、-417用“>”号排列起来.对于这道题，学生通常都是采用先通分再比较的方法，但由于公分母太大，解答非常麻烦.有位学生因近视看不清黑板上的字，就回过头去看后面的同学所抄写的，他看到的是倒字，这一现象使他灵机一动：化为同分子分数，再比较大小.这个触景生情的“灵机一动”，就是一种“初级灵感”.

因此，在教学中教师应对学生长期进行敢于想象、敢于创新、敢于打破常规的训练，促使学生想象能力的不断提高.

在数学教学过程中，要强调学生学会多方面观察事物，学会数学知识和方法，学会思考和探索，学会猜想，发现问题、解决问题，以此培养学生的数学能力和创造性思维.

参考文献

[1]张奠宙.数学教育中的“创新”工程大纲[J].数学教学，1999（4）.

[2]任勇.数学学习指导与教学艺术[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中学数学解题论导引[M].合肥：合肥工业大学出版社，2006.

（责任编辑 黄春香）

数学教育的根本目的是培养学生的各种数学能力，包括数学思维能力、数学计算能力、数学创造性思维能力等.这些能力需要从多渠道、多角度去培养.数学教学中所研究的创新思维，一般是指对思维主体来说，是新颖独到的一种思维活动，它包括发现新事物，提示新规律，创造新方法，解决新问题等思维过程.那么，在数学教学中应如何培养学生的创造性思维能力呢？

一、注重学生逆向思维的培养

逆向思维是数学的一种重要思维方式.它是在研究问题时从反面观察事物，去做到与习惯性的思维方向完全相反的探索，当反复思考某个问题陷入困境时，逆向思维能使人茅塞顿开，出奇制胜.数学上的反证法往往离不开思维的逆向性，先假设结论不成立，然后经过一系列正确、严密的推理，导出自相矛盾的结论，这就证明了与结论相反的假设不成立，从而肯定了原来结论是正确的.

【例1】 证明：素数有无限个.

证明：假设素数只有有限个，设为p1、p2、…、pn.考查数p1p2…pn+1，它或者是一个素数，显然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它为合数，则包含有异于p1、p2、…、pn的素因子.无论哪种情形，总还有另外的素数存在，这与假设相矛盾，从而素数有无限个.

用逆向思维来考虑数学问题，不但可使我们对问题认识得更加清楚，对知识点掌握得更加牢固，而且常常使问题大大简化，起到事半功倍的效果.

二、注意化归意识，激发学生的创造力

化归意识是在解决问题的过程中，有意识地对问题进行“联想——转化”，将未知问题转化为易于解决或已经解决的问题的思维活动.化归意识的培养，不仅有助于实际问题的解决，而且有助于养成自觉地联想、自觉地调整思维方向的钻研精神和思考习惯，有助于创造能力的培养.

【例2】 一个农民有鸡、兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少？

我们可以假想这样一种奇特的现象：所有的鸡都抬起了一只脚，同时所有的兔子也仅用后腿站立在地上.显然，问题就容易多了，现在鸡的头的数目与脚的数目是相等的，如果有一只兔子，脚的数目就要比头的数目大1，所以脚的数目（70）与头的数目（50）的差（20）就等于兔子的数目.于是可知有兔子20只，鸡30只.这种化归思想方法很巧妙，它是把问题的已知条件进行变形，以达到化归的目的，进而创造性地解决问题.

三、广开思路，培养学生的发散思维

发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程.数学上的新思维、新理论和新方法往往来源于发散思维.有人用“创造能力=知识量×发散思维”这个公式来估计一个人的创造能力.可见，加强发散思维的训练是培养学生创造能力的重要方法.

在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手.比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等.

【例3】 用6根火柴，要求摆出4个三角形，怎么摆？

一种思维方式：每个三角形三条边需3根火柴，4个三角形需12根火柴，怎么办？共边！以1个三角形为中心与另外3个三角形各共一边，可以减少3根火柴，这样就只需9根火柴，还要减少3根，怎么办？

另一种思维方式：先用3根火柴摆1个三角形，然后把剩下的3根架在这个三角形的上方，4个三角形就出来了.

前一种思维方式把自己局限在平面上，后一种思维方式就无拘无束，将思维扩展到空间.

四、注重培养学生的观察力

观察是信息输入的通道，是思维探索的大门.敏锐的观察力是创造性思维的起步器.可以说，没有观察就没有发现，更不能有创造.观察能力是在学习过程中培养的.那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？

首先，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求.其次，要在观察中及时指导.比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等.第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察.第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣.

五、大胆猜想，注重对学生想象力的培养

数学中的猜想能力，是一种高级的创造性思维形式.想象不同于胡思乱想.数学想象一般有以下几个基本要素：（1）因此要有扎实的基础知识和丰富的经验的支持；（2）要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力；（3）要有执著追求的情感.因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识.其次，新知识的产生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象.另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等.正如牛顿所说的：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”

数学上的许多创造就是以猜想为前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数之和”就是一个典型的例子.比如：容易从“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素数，然而其和“12，30，136…”都是偶数，是否有一规律：任何两个奇素数之和都是偶数？这点很容易肯定并加以证明.但是反过来想想，任何一个偶数，是否都能分解为两个奇素数之和？对“即使很大”的偶数是可以实际验证一下，然而能严格证明吗？这就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重诱发学生的数学灵感

科学家把导致发明创造的敏感称为“高级灵感”，我们把在数学学习中赖以发现、解决数学问题的那种突然发生的直觉思维叫做“初级灵感”.它大体是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路.它是认识上质的飞跃.灵感的发生往往伴随着突破和创新.

在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定.同时，还应诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口.

例如，有这样的一道题：把-311、-623、-1247、-417用“>”号排列起来.对于这道题，学生通常都是采用先通分再比较的方法，但由于公分母太大，解答非常麻烦.有位学生因近视看不清黑板上的字，就回过头去看后面的同学所抄写的，他看到的是倒字，这一现象使他灵机一动：化为同分子分数，再比较大小.这个触景生情的“灵机一动”，就是一种“初级灵感”.

因此，在教学中教师应对学生长期进行敢于想象、敢于创新、敢于打破常规的训练，促使学生想象能力的不断提高.

在数学教学过程中，要强调学生学会多方面观察事物，学会数学知识和方法，学会思考和探索，学会猜想，发现问题、解决问题，以此培养学生的数学能力和创造性思维.

参考文献

[1]张奠宙.数学教育中的“创新”工程大纲[J].数学教学，1999（4）.

[2]任勇.数学学习指导与教学艺术[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中学数学解题论导引[M].合肥：合肥工业大学出版社，2006.

（责任编辑 黄春香）