施小群

摘要：在力学中，“能”是反映物体状态（运动状态、形态、空间位置）的物理量，“功”是描述物体状态改变过程的物理量，做功是能量变化的原因之一，能量的变化反映了做功的效果。本文将分别从功与能的定义、功与能和参照系的关系、动能定理、功能原理、能量守恒和转化定律等方面讨论功与能的区别联系。

关键词：功；能；机械能；动能定理；功能原理；能量守恒和转化定律

中图分类号：G633.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）27-0094-03

能量是物理学中最普遍具有深远意义的概念。力学中引入功和能并揭示其有关规律，不但为解决力学问题别开生面，而且架通了连接机械运动与其他运动形态的桥梁。功与能之间怎样进行区别联系，关系到对功能关系的认识是否正确，为此，先从“求功”谈起。

1 功

1.1 功的定义

“在力学中，凡是作用在质点上的力，使质点沿力的方向产生一段位移，我们就说力对质点作了功。一般地讲，功等于力乘以质点在力的方向所产生的位移。”[1]

1.1.1 元功

若受力F作用的质点有元位移dr，则我们定义Fdr为力F对质点所做的元功，用dA表示元功，有

dA=Fdr=Fdscosθ （1）

其中θ为F与位移dr之间的夹角，ds=|dr|.上式用语言可表述为：力的元功等于力与受力质点的元位移之标量积。功是标量，有大小而无方向，但有正负，即当时0≤θ<■，dA>0，力对质点作正功；当θ=■时，dA=0，力对质点不作功；当■<θ≤π时，dA<0，力对质点作负功。

1.1.2 变力的功

如果质点沿曲线运动，或作用在它上面的力是一个变量，那么，我们只能先算力F在一微小位移dr中所作的元功，因此，当质点在变力F作用下沿曲线自点A运动到点B时，变力F所做的总功为

A=■Fdr=■Fdscosθ （2）

式中ds=|dr|，θ为F与位移dr之间的夹角。在数学上，这种积分称为力F沿路径L从A到B的曲线积分。

显然，功是描述力的空间累积效应的物理量[2]，只有确定了运动轨迹后，才能确定功的数值，故功为过程的特性，它是泛函。

在元功定义中的dr是质点相对于所选取的参照系的元位移，因此力所做元功的值Fdr也是相对于所选取的参照系而确定的。如果选取的参照系不同，位移是不相同的，因而力所做的功也就不同。

2 能

能量是物理学中最基本的概念之一，也是力学中的基本概念。能量是物质运动的一种量度，各种运动形式互相转化的过程，就是各种形式能量互相转化的过程。能量的变化可以用功的大小来量度，因此可以说，物体所具有的能量就是它所具有的做功的本领。

在力学中，一般只考虑机械能，即动能和势能。具有动能或势能的物体就具有一定的做功的本领。

2.1 动能

早在经典力学初创时期（17世纪，惠更斯）就已经发现两个弹性球相碰撞时，各球的质量与速度平方之积的和在碰前和碰后相等，在以后很长一段时间内（直到19世纪中），人们才把■mv2称为“活力”。[4]当时的一些著名学者对“活力”的意义进行了长时间的探讨。现在，人们放弃了“活力”这个名称，把质量与速度平方之积的一半称为质点的动能，记为Ek=■mv2。

动能是反映物体本身运动状态的物理量，物体的运动状态一旦确定，动能就唯一确定了。

能量的概念起初是作为量■mv2而引入的。它是状态单值函，是做功的本领。是由于物体运动而具有做功的本领，故可把动能定义为质点在完全静止前做的功。

就一般情况而言，除了匀速运动的物体外，动能在不断地随着物体运动的速度而变化。一个物体相对于不同的参照系，运动的速度不同，它的动能也就不同。

2.2 势能

势能的概念是在保守力的基础上提出的，对于保守力，受力质点始末位置一定，力的功便确定了。

用Ep0和Ep分别表示质点在始末位置的势能，用A保表示自始位置到末位置保守力做的功，则

Ep-Ep0=-A保 （10）

表明与一定保守力相对应的势能的增量等于保守力所做功的负值，此即势能定义。

若规定计算保守力做功的起始位置为势能零点，Ep0=0，那末终止位置的势能为

Ep=-A保

一个物体系统的势能的变化量，与研究对象的位置变化有关，与参考系的选择无关。

3 功与能的区别与联系

从功和能的定义可知，功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的，“过程”意味着“状态的变化”，所以功是过程的函数，而能是状态量，是状态的函数。不能说某过程具有多少能量。反过来，不能说系统处于某一状态时力做了多少功，只能说某个过程中力做了多少功。

虽然功和能是不同的概念，但是功和能的变化总是相互联系的。

3.1 动能定理[2，3]

3.1.1 单一质点的动能定理

设一质量为m的质点受到沿x轴方向的合力F作用，质点沿x轴方向从x0移动到x，合外力做功

A=■Fdx

因为

F=ma=m■

所以

A=■m■dx=■m■dv=■mv2-■mv02=Ek-Ek0 （11）

上式表明，合外力对质点所做的功大小等于质点动能的增量，这个结果称为单一质点的动能定理。

3.1.2 质点组的动能定理

所谓质点组是由互相作用的若干质点组成的系统。设质点组由n个质点组成，在运动过程中，作用于各个质点的合力的功为A1、A2……Ai……An，对每个质点运用动能定理，由于功是标量，可用代数和，得endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai为合力功，∑Eki为质点组的末动能，∑Eki0为质点组的初动能。公式（12）表明质点组动能的增量在数值上等于所有合力做功的代数和，称为质点组的动能定理。

对于质点组的所有力，可以分为外力和内力，则有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA内

式中，∑ΔA外为外力功的代数和，∑ΔA内为内力功的代数和。则质点组动能定理可写为

∑ΔA外+∑ΔA内=∑■mv2-∑■mv02 （13）

动能定理揭示了功与能的关系。当外力对物体做正功时，物体的动能增加，而该物体动能的增加量与施力者能量的减少量是相等的。能量从一个物体传给另一个物体是通过做功过程来实现的。功是能量变化的量度，但它并不是能量。一个力做功的数量等于在做功过程中能量传递或转化的数量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的数量与能量变化的数量相等，并不意味着功与能是一回事。

由以上分析可见，功与能是有区别的，功与物体的运动过程有关，而能是与物体所处的状态有关。

3.2 功和能之间的关系举例

例1：人用手将球抛出，在抛球的过程中，球获得了动能，同时人的化学能减小，而且球增加的动能和人减少的化学能在数值上是相等的。

（1）对皮球来说，人对球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）对人来讲，人做的是负功|ΔE|，所以其能量减少|ΔE|。

（3）对于相互作用的人和球来讲，其总能量是守恒的。

例2：如图所示，一个质量为m的物体放在光滑的水平桌面上，其初速度为v1，受到一恒力F的作用，力的方向与物体位移的方向成θ角。物体在此力作用下沿水平面作匀加速直线运动。如果物体发生的位移为s时速度为v2，则由匀加速直线运动的公式可知。物体的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把这个式子代入牛顿第二运动定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

两边乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根据前述功的定义可知，上式左边就是恒力F对物体所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右边的两项均有相同的形式，即■mv2.显然，它是描述物体运动状态的一个物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物体由初始状态变到终止状态时的能量之差（这里不考虑相对论效应）。由此得出结论：恒力F对物体所作的功等于物体动能的增量。这就是所谓动能定理，它是被大量实验所证实的客观规律。

概括地说，能是描述物体运动状态的物理量，它是物体运动状态的单值函数（简称态函数）。而功则是在物体与外界相互作用的情况下，物体运动状态改变的量度，或可直接说功是物体能量变化的量度。功与物体状态的具体变化过程有关，是一个过程量，并不是状态函数。所以，只能说物体具有多少能量，而决不能说物体具有多少功。

4 怎样学好功与能

功与能既有区别又存在着密切的关系，究竟怎么学好它们呢？要注意以下几点：

必须搞清基本事实，透彻理解每一个基本概念、定义、原理、定理的内容和意义。

要把抽象与具体结合起来，无论是概念、定义或原理、定理都有其数学的抽象方面与形象的直观方面，如果要透彻地理解它们，就有必要把这两个方面结合起来。

对物理学来说，数学既是描述自然界的语言，又是进行定量推算的工具。在计算功与能时都要借助于数学，尤其是高等数学。学好数学，对学好功与能打下了坚实的基础。

学好功与能，关键是勤于思考。勤于思考，就要对功与能的定义、公式中的符号和公式本身的含义，用自己的语言陈述出来。对于动能定理、功能原理等的证明及推导，最好在了解了基本思路后，自己能够把它们演算出来。这样才能对它们成立的条件、关键的步骤、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奋地做习题，不求数量，求质量。适当做些高难度的题目。

综上所述，功是和一定状态的变化过程相联系的，只有当物体系的状态变化时，才谈得到做功的问题。能量却反映了物体系在一定状态下所具有的特性。物体在一定状态下，就有一定的、确定的能量，所以说能量是物体系的状态单值函数。功是能量传递或变化的量度。

参考文献：

[1]周衍柏.理论力学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁绍荣等.普通物理学（第一分册力学）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]许钟城.非惯性系力学概论[M].桂林：广西师范大学出版社，1998：24-44.endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai为合力功，∑Eki为质点组的末动能，∑Eki0为质点组的初动能。公式（12）表明质点组动能的增量在数值上等于所有合力做功的代数和，称为质点组的动能定理。

对于质点组的所有力，可以分为外力和内力，则有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA内

式中，∑ΔA外为外力功的代数和，∑ΔA内为内力功的代数和。则质点组动能定理可写为

∑ΔA外+∑ΔA内=∑■mv2-∑■mv02 （13）

动能定理揭示了功与能的关系。当外力对物体做正功时，物体的动能增加，而该物体动能的增加量与施力者能量的减少量是相等的。能量从一个物体传给另一个物体是通过做功过程来实现的。功是能量变化的量度，但它并不是能量。一个力做功的数量等于在做功过程中能量传递或转化的数量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的数量与能量变化的数量相等，并不意味着功与能是一回事。

由以上分析可见，功与能是有区别的，功与物体的运动过程有关，而能是与物体所处的状态有关。

3.2 功和能之间的关系举例

例1：人用手将球抛出，在抛球的过程中，球获得了动能，同时人的化学能减小，而且球增加的动能和人减少的化学能在数值上是相等的。

（1）对皮球来说，人对球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）对人来讲，人做的是负功|ΔE|，所以其能量减少|ΔE|。

（3）对于相互作用的人和球来讲，其总能量是守恒的。

例2：如图所示，一个质量为m的物体放在光滑的水平桌面上，其初速度为v1，受到一恒力F的作用，力的方向与物体位移的方向成θ角。物体在此力作用下沿水平面作匀加速直线运动。如果物体发生的位移为s时速度为v2，则由匀加速直线运动的公式可知。物体的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把这个式子代入牛顿第二运动定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

两边乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根据前述功的定义可知，上式左边就是恒力F对物体所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右边的两项均有相同的形式，即■mv2.显然，它是描述物体运动状态的一个物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物体由初始状态变到终止状态时的能量之差（这里不考虑相对论效应）。由此得出结论：恒力F对物体所作的功等于物体动能的增量。这就是所谓动能定理，它是被大量实验所证实的客观规律。

概括地说，能是描述物体运动状态的物理量，它是物体运动状态的单值函数（简称态函数）。而功则是在物体与外界相互作用的情况下，物体运动状态改变的量度，或可直接说功是物体能量变化的量度。功与物体状态的具体变化过程有关，是一个过程量，并不是状态函数。所以，只能说物体具有多少能量，而决不能说物体具有多少功。

4 怎样学好功与能

功与能既有区别又存在着密切的关系，究竟怎么学好它们呢？要注意以下几点：

必须搞清基本事实，透彻理解每一个基本概念、定义、原理、定理的内容和意义。

要把抽象与具体结合起来，无论是概念、定义或原理、定理都有其数学的抽象方面与形象的直观方面，如果要透彻地理解它们，就有必要把这两个方面结合起来。

对物理学来说，数学既是描述自然界的语言，又是进行定量推算的工具。在计算功与能时都要借助于数学，尤其是高等数学。学好数学，对学好功与能打下了坚实的基础。

学好功与能，关键是勤于思考。勤于思考，就要对功与能的定义、公式中的符号和公式本身的含义，用自己的语言陈述出来。对于动能定理、功能原理等的证明及推导，最好在了解了基本思路后，自己能够把它们演算出来。这样才能对它们成立的条件、关键的步骤、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奋地做习题，不求数量，求质量。适当做些高难度的题目。

综上所述，功是和一定状态的变化过程相联系的，只有当物体系的状态变化时，才谈得到做功的问题。能量却反映了物体系在一定状态下所具有的特性。物体在一定状态下，就有一定的、确定的能量，所以说能量是物体系的状态单值函数。功是能量传递或变化的量度。

参考文献：

[1]周衍柏.理论力学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁绍荣等.普通物理学（第一分册力学）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]许钟城.非惯性系力学概论[M].桂林：广西师范大学出版社，1998：24-44.endprint

∑Ai=∑Eki-∑Eki0 （12）

式中：∑Ai为合力功，∑Eki为质点组的末动能，∑Eki0为质点组的初动能。公式（12）表明质点组动能的增量在数值上等于所有合力做功的代数和，称为质点组的动能定理。

对于质点组的所有力，可以分为外力和内力，则有

∑ΔA=∑ΔA外+∑ΔA内

式中，∑ΔA外为外力功的代数和，∑ΔA内为内力功的代数和。则质点组动能定理可写为

∑ΔA外+∑ΔA内=∑■mv2-∑■mv02 （13）

动能定理揭示了功与能的关系。当外力对物体做正功时，物体的动能增加，而该物体动能的增加量与施力者能量的减少量是相等的。能量从一个物体传给另一个物体是通过做功过程来实现的。功是能量变化的量度，但它并不是能量。一个力做功的数量等于在做功过程中能量传递或转化的数量，■Fdr=■mv2-■mv02表示了功的数量与能量变化的数量相等，并不意味着功与能是一回事。

由以上分析可见，功与能是有区别的，功与物体的运动过程有关，而能是与物体所处的状态有关。

3.2 功和能之间的关系举例

例1：人用手将球抛出，在抛球的过程中，球获得了动能，同时人的化学能减小，而且球增加的动能和人减少的化学能在数值上是相等的。

（1）对皮球来说，人对球做的是正功|ΔE|，其能量增加|ΔE|。

（2）对人来讲，人做的是负功|ΔE|，所以其能量减少|ΔE|。

（3）对于相互作用的人和球来讲，其总能量是守恒的。

例2：如图所示，一个质量为m的物体放在光滑的水平桌面上，其初速度为v1，受到一恒力F的作用，力的方向与物体位移的方向成θ角。物体在此力作用下沿水平面作匀加速直线运动。如果物体发生的位移为s时速度为v2，则由匀加速直线运动的公式可知。物体的加速度是：

a=（v22-v12）/2S

如果把这个式子代入牛顿第二运动定律表示式中，就可以得到：

Fcosθ=ma=m（v22-v12）/2S

两边乘以位移大小s，就得到：

Fscosθ=■mv22-■mv12.

根据前述功的定义可知，上式左边就是恒力F对物体所做的功，即：

W=Fs=Fscosθ

上式右边的两项均有相同的形式，即■mv2.显然，它是描述物体运动状态的一个物理量，即能，而■mv22-■mv12便是物体由初始状态变到终止状态时的能量之差（这里不考虑相对论效应）。由此得出结论：恒力F对物体所作的功等于物体动能的增量。这就是所谓动能定理，它是被大量实验所证实的客观规律。

概括地说，能是描述物体运动状态的物理量，它是物体运动状态的单值函数（简称态函数）。而功则是在物体与外界相互作用的情况下，物体运动状态改变的量度，或可直接说功是物体能量变化的量度。功与物体状态的具体变化过程有关，是一个过程量，并不是状态函数。所以，只能说物体具有多少能量，而决不能说物体具有多少功。

4 怎样学好功与能

功与能既有区别又存在着密切的关系，究竟怎么学好它们呢？要注意以下几点：

必须搞清基本事实，透彻理解每一个基本概念、定义、原理、定理的内容和意义。

要把抽象与具体结合起来，无论是概念、定义或原理、定理都有其数学的抽象方面与形象的直观方面，如果要透彻地理解它们，就有必要把这两个方面结合起来。

对物理学来说，数学既是描述自然界的语言，又是进行定量推算的工具。在计算功与能时都要借助于数学，尤其是高等数学。学好数学，对学好功与能打下了坚实的基础。

学好功与能，关键是勤于思考。勤于思考，就要对功与能的定义、公式中的符号和公式本身的含义，用自己的语言陈述出来。对于动能定理、功能原理等的证明及推导，最好在了解了基本思路后，自己能够把它们演算出来。这样才能对它们成立的条件、关键的步骤、推演的技巧等有深刻的理解。

勤奋地做习题，不求数量，求质量。适当做些高难度的题目。

综上所述，功是和一定状态的变化过程相联系的，只有当物体系的状态变化时，才谈得到做功的问题。能量却反映了物体系在一定状态下所具有的特性。物体在一定状态下，就有一定的、确定的能量，所以说能量是物体系的状态单值函数。功是能量传递或变化的量度。

参考文献：

[1]周衍柏.理论力学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，1986：45-50.

[2]梁绍荣等.普通物理学（第一分册力学）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1995：153-173.

[3]许钟城.非惯性系力学概论[M].桂林：广西师范大学出版社，1998：24-44.endprint