刘 岩,刘 敏

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

李代数是一类重要的非结合代数，无论就其理论的完整性还是其应用的广泛性，李代数都是一个很重要的数学分支,在[1-3]中对李代数的有关概念已经给出了具体的定义.其中Novikov代数是在研究哈密尔顿算子时产生的，与李代数的联系非常密切.由Novikov代数引出的Hom-Novikov代数是一个比较新的代数结构，至今已得到了一些结果，所以对Hom-Novikov代数的研究有很大的研究空间.我们可以通过对Novikov代数的性质研究Hom-Novikov代数的一些性质.

这篇文章中，我们将讨论四维Novikov代数上的Hom-Novikov代数的分类.本文主要由以下几部分构成: 第一部分中，我们简单的给出关于Hom-Novikov代数的一些相关定义和性质；第二部分中，我们给出复数域上四维Novikov代数的分类，然后根据定理1，计算出相应的Hom-Novikov代数.

1 准备知识

定义1[4]设(l,μ)是数域F上的向量空间，l上有双线性乘积μ：L×L→L满足：

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz)

(1)

和

(xy)z=(xz)y,

(2)

其中μ(x,y)=xy，则称(L,μ)为Novikov代数.

定义2[5]设(L,μ)是数域F上的向量空间，L上有双线性乘积μ：L×L→L，并且a:L→L是一个线性映射满足：

α(x,y)=α(x)α(y),

(3)

(xy)α(z)-α(x)(yz)=(yx)α(z)-α(y)(xz),

(4)

(xy)α(z)=(xz)α(y),

(5)

则称(L,μ,α)为Hom-Novikov代数.

定理1[5]令(L,μ)为Novikov代数且有α:L→L为一个代数映射，那么Lα=(L,μα,α)为Hom-Novikov代数.

我们称Lα=(L,μα,α)为Novikov代数(L,μ)的一个变形，我们可以通过定理1得到与Novikov代数对应的Hom-Novikov代数.接下来给出两个类似于定理1的构造Hom-Novikov代数的方法：

定理2[5]令(L,μ,α)为Hom-commutative代数且D:L→L为一个导子满足Dα=αD，那么(L,*,α)Hom-Novikov代数，其中a*b=μ(a,D(b))=aD(b).

推论1[5]令(L,μ)是一个associative和commutative代数且有α:L→L为一个代数映射，并且D:L→L为一个导子满足Dα=αD，那么(L,*,α)为Hom-Novikov代数，其中x*y=α(xD(y))，x,y∈A.

定理3[5]令(L,[-,-],α)为Hom-Lie代数，f:L→L为一个线性映射使得fα=αf.定义一个乘积x*y=[f(x),y]，x*'y=[x,f(y)].x,y∈L.那么我们得到：

(1)(L,*,α)为Hom-Novikov代数当且仅当以下各式成立f([f(x),y]+[x,f(y)])-[f(x),f(y)]∈Z(∂(L))，和[f([f(x),y]),α(z)]=[f([f(x),z]),∂(y)],x,y,z∈L；

(2)(L,*',α)为Hom-Novikov代数当且仅当以下各式成立[[f(x),y]+[x,f(y)],f(α(z))]-[∂(x),f([y,f(z)])]+[∂(y,f([x,f(z)]))]=0和[f(x),f(y)]∈Z(∂(L))，x,y,z∈L.

2 四维Hom-Novikov代数

设(L,μ)是复数域上的四维Novikov代数，e1,e2,e3,e4是L的基，则它的特征矩阵为

设α:L→L是一个代数映射，且μα=α·μ是Hom-Novikov代数的乘积，则它的特征矩阵为

并且α:L→L是一个线性映射，则它的四阶矩阵为

根据定理1的构造方法以及M(α)、M(μ)、M(μα)之间的关系，我们就可以由[4]中的四维Novikov代数的分类算出它的所有的代数态射M(α)，再根据定理1得出与之相对应的Hom-Novikov代数，如下所示.

定理4四维Novikov代数上的Hom-Novikov代数的分类，如下:

表1 四维Novikov代数上的Hom-Novikov代数

续表

续表

证明 由于方法相似，我们以A4,2为例进行证明.设α:L→L为A4,2的一个线性映射.

由α(e1e1)=α(e1)α(e1)=(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)=a112e2=α(e2)可得a112=a22,a12=a32=a42=0.

由α(e1e2)=α(e1)α(e2)=(a11e1+a21e2+a31e3+a41e4)(a12e1+a22e2+a32e3+a42e4)=a11a12e2=0

可得a11a12=0.

同理有a11a13=0，a11a14=0，a122=0，a12a13=0，a12a14=0，a132=0，a13a14=0，a142=0,

所以根据以上结论我们得出

则d111=d311d411=0,d211=1.

所以α(e1e1)=d111α(e1)+d211α(e2)+d311α(e3)+d411α(e4)=α(e2),

即α(e1e1)=a12e2

所以与A4,2相对应的Hom-Novikov代数为

注：矩阵中的系数a,b,c,d,ai,bi,ci,di和λ都在上.

参考文献：

[1]JACOBSON N.LIE Algebras[M].New York:Dover,1979.

[2]J.Humphreys.Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M].New York:Springer-Verlag,1972.

[3]孟道骥,复半单李代数引论[M].北京:北京大学出版社,1998.

[4]Dietrich Burde,Willem de Graaf: Classification of Novikov algebras[J].AAECC(2013).

[5]Donald Yay.Hom-Novikov Algebras[J].arXiv:0909.0726v2.