梁迎久

(辽宁大学数学院，沈阳 110036)

一类切换非线性系统的全局有限时间镇定

梁迎久

(辽宁大学数学院，沈阳 110036)

研究了一类切换非线性系统在任意切换下的全局有限时间镇定问题.通过加幂积分仪技术，精确地设计了连续非光滑的状态反馈控制器和共同的李雅普诺夫函数，实现了系统的有限时间内的镇定;与现有结果相比，具有加快收敛速度的优点;仿真例子表明了所得结果的有效性.

切换非线性系统;全局有限时间镇定;非光滑的状态反馈控制

1 系统描述

考虑如下切换非线性系统的全局有限时间镇定性问题:

其中:χ∈Rn为系统的状态，χ-i=［χ1，…，χi］T，σ(t)→M={1，…，m}是用来确定切换律的分段连续函数;u∈R是控制输入;ψi，σ(t):i=1，…，n，∀σ(t)∈M 是 C1函数;ψi，σ(t)(0，0，t)=0．

切换系统是控制界研究的一个热点，对切换系统的研究主要集中在性能分析和综合方面．对于解决切换线性系统在任意切换下的稳定和镇定问题，共同的李雅普诺夫函数方法是一种很有效的方法．文献［1，2］利用反步法，研究了一类切换非线性系统在任意切换下的全局镇定问题．另一方面，在系统的收敛性分析中，有限时间稳定性是一个非常重要的概念，它表示系统是李雅普诺夫稳定的并且系统的运动轨迹在有限时间内收敛到系统的平衡点．近年来，研究学者已对几类重要系统的有限时间稳定性及其稳定化进行了研究．文献［3］提出了有限时间稳定的充分必要条件，利用这个充分必要条件，有限时间稳定控制问题得到了研究．例如，通过加幂积分仪技术，文献［4］研究了具有下三角结构非线性系统的有限时间稳定控制问题;文献［5］研究了一类不确定非线性系统的输出反馈全局有限时间稳定问题．文献［6］给出非线性系统有限时间稳定的另一个的充分条件，与文献［4］相比，加快收敛速度，降低设定时间．

近来，切换非线性系统全局有限时间问题引起了人们的重视，文献［7］研究了一类脉冲混杂系统的有限时间稳定．然而，有关切换非线性系统的有限时间镇定的研究仍未见有报道．此处将针对一类切换非线性系统(1)，研究其全局有限时间镇定问题．

2 问题的提出

此处的目的是找出状态反馈控制器，形如

使得闭环系统(1)和(2)是在任意的切换序列下全局有限时间稳定的．

考虑非线性系统式(3):

其中，f:D→Rn是非Lipschitz连续的函数．

定义1 系统(3)的零解是有限时间收敛的，如果存在原点的开领域U⊆D和函数使得∀χ0∈U{0}的每一个解χ(t，χ0)∈U{0}，t∈［0，Tχ(χ0)］，且称为设定时间．系统(3)的零解如果是李雅普诺夫稳定和有限时间收敛的，则它是有限时间稳定的．如果U=D=Rn，则它是全局有限时间稳定的．

定义2 切换系统(1)在任意的切换序列下是全局有限时间镇定的，如果存在控制规律，使得闭环切换系统在任意的切换序列下满足条件(1)(2):

(1)Lyapunov稳定:对于 ∀ε＞0，存在δ(ε)＞0，使得χ0∈Bδ(0)，χ(t)∈Bε(0)，t≥0．

(2)有限时间收敛:∀χ0∈Rn，t∈［0，Tχ(χ0)］，且

定理1 对于连续系统(3)，若存在C1正定函数V:D→R，实数d，l＞0和α∈(0，1)，满足

则系统(3)的零解是有限时间稳定的．设定时间T依赖初始状态χ0且满足如果D=Rn，式(4)在Rn{0}上成立，则原点是全局有限时间稳定的．下面引入2个引理，这些引理是得出系统(1)全局有限时间镇定的基础．

引理1 设a和b是两个正实数，α(χ，y)＞0是任意的实值函数，有

引理2 设 χi，i=1，2，…，n是负实数，r≤1，有(|χ1|+ +|χn|)r≤|χ1|r+ +|χn|r成立．如果0＜r＜1是奇整数，有|χr-yr|≤21-r|χ-y|r成立．

3 全局有限时间镇定

为了使系统(1)镇定，给出适当假设限定．

假设1 对于i=1，…，n，∀k∈M，有

定理2 在假设1下，切换系统(1)可以通过连续的状态反馈实现在任意的切换序列下全局有限时间镇定，设定时间满足

证明 当n=1，考虑子系统(6):

把χ2看成虚拟控制，则存在

其中φ1，l(χ1)＞0是C1函数．把式(8)代入式(7)可得

当n=i-1时，假设对于切换系统(10):

存在一个 C1正定李雅普诺夫函数 Vi-1，l(χ1，…，χi-1)满足不等式(11)(12):

其中一些参数和C0的虚拟控制定义如下:

φ1，l(χ1)＞0，…，φi-1，l(χ1，…，χi-1)＞0是 C1函数．

当n=i时，目标是构建Vi(χ1，…，χi)和一个虚拟控制 χi+1，l使得结果在 i时成立．

定义

其中，

为了下面的证明，引进4个性质:

性质1 Mi，l(χ1，…，χi)是 C1函数，

性质2 Vi，l(χ1，…，χi)是正定C1函数而且满足不等式(16):

性质3 存在C1函数μ～i(χ1，…，χi)≥0，满足不等式(17):

性质4 存在 C1函数 Ψi，l，τ(χ1，…，χi)，满足不等式(18):

从文献［4］知，性质1-4的证明是显然的．

由性质1可得不等式(19)成立:

下面将分别的估算不等式(19)右面的每一项，根据引理1和ρi=ρi-1-2/(2n+1)可得

其中 εi＞0是一个固定的常数．

根据引理1和性质3可得

其中C1函数

应用性质1和4可得

把不等式(20)-(22)代入式(19)可得

选择式(24)的C0虚拟控制:

其中 φi，l(χi)＞0是 C1函数，0＜ρi+1:ρi-2/(2n+1)＜ρi．容易得到

由前面的推理过程可以知道，系统(1)存在连续非光滑的函数．

其中φn(χ)＞0是C1函数和一个正定的C1李雅普诺夫函数:

由定理2可得，切换系统(1)可以通过连续的状态反馈实现在任意的切换序列全局有限时间镇定，设定时间满足

4 数值实验

考虑如下切换系统:

其中σ(t)→M={1，2}，ψ1，1(χ1)=0．5χ1，ψ1，2(χ1)=2χ1．

利用设计方法，当l=2时，得到控制器式(32):

其中，

仿真结果见图1所示．

设初始值为χ1(0)=-2．5，χ2(0)=3．8，文献［2］给出了控制器式(34):

仿真结果见图2所示．图3为任意的一个切换信号．

5 总 结

研究了一类切换非线性系统在任意切换序列下的有限时间镇定，通过加幂积分仪技术，给出了系统有限时间控制器的设计，仿真实验验证方案的有效性．

图1 控制器(32)得到系统状态轨迹图

图2 控制器(34)得到系统状态轨迹图

图3 任意的一个切换信号

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Global Finite-Time Stabilization of a Class of Switched Nonlinear Systems

LIANG Ying-jiu
(School of Mathematics，Liaoning University，Shenyang 110036，China)

This paper studies the global finite-time stabilization problem for a class of switched non-linear systems under arbitrary switching，by the adding a power integrator technique，accurately designs both continuous but non-smooth state feedback controller and a common Lyapunov function(CLF)and realizes the global stabilization of this system in finite time.Compared with previous results，the new method may accelerate convergent speed.A simulation example shows the effectiveness of the theoretical results.

switched nonlinear systems;global finite-time stabilization;non-smooth state feedback controller

O231

A

1672-058X(2014)01-0008-06

责任编辑:李翠薇

2013-08-29;

2013-09-23.

梁迎久(1987-)，男，河北张家口人，硕士研究生，从事非线性系统、切换系统研究.