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控制理论中关于电力系统稳定性的基础研究

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电力系统稳定性，对于供电具有极其重要的作用。电力系统控制理论的一个重要问题是怎样才能实现对具有外界干扰的不确定性系统的鲁棒控制。输入状态稳定性(Input-to-state stability,ISS)是非线性控制系统的一个重要性质,本文基于非线性系统的输入-状态稳定性概念,研究非线性系统的输入-状态稳定性问题，给出非线性广义系统输入-状态稳定(ISS)的定义等等。

电力系统；控制系统；输入-状态稳定性

在电力控制系统的分析与设计中，稳定性无疑是系统的一个重要性质。在控制理论中，如果当系统受到一个充分小的初始扰动时，只会使系统产生偏离平衡状态的充分小的受扰运动，我们就称这个系统是稳定的。当所有的受扰运动回复到平衡状态的时间无限趋近于无穷大时，我们称这个系统是渐近稳定的。如果对于任意的初始扰动所引起的受扰运动，系统均能随时间最终恢复到平衡状态，那么我们就称该系统是全局渐近稳定或是大范围渐近稳定的。

从19世纪晚期以来， 在对稳定性的研究和应用领域，李亚普诺夫稳定性理论一直在发挥其指导作用。许多学者通过研究李雅普诺夫所开辟的研究路线，对第二方法作出了很多新的拓展。一方面， 李雅普诺夫第二方法被用于研究通用系统的稳定性。另一方面，第二个李雅普诺夫方法用于研究的基础上，系统的稳定性或多级系统，在这段时间里，李雅普诺夫函数已经扩展到了向量形式，我们称之为向量李雅普诺夫函数。在这个方法中可以成为一个稳定的充分条件系统。

1 稳定性定义

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（Lyapunov stability）可用来描述一个动力系统的稳定性。在这里我们考虑一个自治的非线性动态系统，其中是系统的向量，是原点的开邻域，且有在范围内连续。我们可以不失一般性的假设原点为一个平衡点，则：

2）上述系统的原点为渐近稳定的条件是：原点为李雅普诺夫稳定，均存在，使得在的条件下，。

3）上述系统的原点为指数稳定的条件是：原点为渐近稳定，且存在使得在的条件下，只要，则。

2 稳定性分类

李雅普诺夫稳定性的应用非常广，这体现在它能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，这也就说明了李雅普诺夫稳定性是更为一般和实用的稳定性分析方法。李雅普诺夫意义下的稳定性指的是对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准，主要包括稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定，其详细解释如下：

3 输入-状态稳定性

在实际应用中，我们可以使用更加方便的方法来求得线性系统的稳定性，所以李雅普诺夫稳定性数是用来分析非线性系统的稳定性。通常意义上，我们所说的李雅普诺夫稳定性理论主要指的是李雅普诺夫第二方法，又叫做李雅普诺夫直接法。我们在对于任任意阶的系统的分析中都可以使用李亚普诺夫第二种方法，但是使用这种方法可能不会解决系统状态方程，也不容易让我们直接确定系统的稳定性。在非线性系统和时变系统，状态方程的解决方法通常是困难的，因此李亚普诺夫方法在第二个解决这类问题是表现出极大的优势。

随着对输入-状态稳定性性质研究的深入，输入-状态稳定性性质已然成为了一项重要的综合性分析工具，并且得到了广泛的应用。自从这一理论提出后，国内外有大量的专家学者对输入-状态稳定的理论及实践进行了深入而广泛的研究，并发现了它的广泛的应用前景。在提出这个概念的初期，人们对它的研究主要地集中在寻找判别这种稳定性的条件，而当李雅普诺夫方法被引进到这种研究中以后，人们才发现输入-状态稳定性与系统的其它重要性质有重大关系，并由此为基础提出了一系列新的稳定性概念，在系统设计中发挥了重要作用。

4 ISS的基础理论知识——系统描述

考虑如下非线性系统：