李宝麟, 郭林峰

(西北师范大学，甘肃 兰州 730070)

1 引 言

李雅普诺夫稳定性理论是俄国数学家和力学家A.M李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论.文献[1]给出了随机半稳定非线性动态系统的李雅普诺夫定理及李雅普诺夫逆定理,文献[2]得到了在紧集上具有扰动取值的离散时间系统的李雅普诺夫逆定理.文献[3]考虑了Caratheodory型的广义常微分方程系统的李雅普诺夫稳定性的逆定理.文献[4]通过测度泛函微分方程与广义常微分方程的对应关系,依据广义常微分方程的李雅谱诺夫定理得到了测度泛函微分方程的李雅普诺夫定理.

本文利用脉冲测度泛函微分方程与测度泛函微分方程的等价关系,依据广义常微分方程的李雅普诺夫逆定理得到了脉冲测度泛函微分方程

(1)

的李雅谱诺夫逆定理.其中J0=[t0,t1],Jk=(tk,tk+1],k∈Z+,{tk}k∈Z+是递增的正实序列,

(2)

2 预备知识

引理2.2[6]令m∈N,{tk}k∈Z+为递增序列, 且t1≥t0,B⊂Rn,I1,…,Im:B→Rn,

P=G([-r,0],B).f:P×[t0,t0+σ]→Rn假定g:[t0,+∞]→R左连续, 在t1,…,tm处连续. 对每个y∈P定义

则x∈G([t0-r,t0+σ],B)是脉冲泛函微分方程

的解当且仅当它是测度泛函微分方程

(3)

的解.

3 主要结果

定理3.1设f:S×[t0,+∞)→Rn,g:[t0,+∞)→R,Ik:B→Rn满足以下条件

(B1) 对每个y∈O,f(yt,t)相对于g是Kurzweil 可积的.

(B2)存在相对于g局部 Kurzweil 可积函数m:[t0,+∞)→R使得对所有的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞)有

‖ys-zs‖[t0,+∞)m(s)dg(s)

(B3)对每个k∈Z+,s∈[t0,+∞),存在常数mk≥0使得

‖Ik(y(tk))‖≤mk,

‖Ik(y(tk))-Ik(z(tk))‖≤‖ys-zs‖[t0,+∞)mk

VOCs中的气体以微量存在，但具有毒性、强刺激性、致癌性和特殊的气味性，会强烈地影响皮肤和黏膜，对人体产生急性损害；VOCs通过氧化、吸附、凝结等与空气中的氧化剂、硝酸、臭氧发生反应,生成包含PM2.5和PM10的二次有机颗粒物，是大气污染的重要来源之一；当VOCs通过光照与氮氧化物、一氧化氮、二氧化氮发生反应后，产生的臭氧及俗称的光化学烟雾是夏季污染的重要成分。总之，VOCs是一类重要的空气污染物，对人类身体健康和环境都有巨大的危害，减少VOCs的排放和有效地对其进行净化处理是涂料行业的当务之急。

由引理 2.1 和引理2.2及对s1,s2∈[t0,+∞),y,z∈O, 有

类似地, 有

定理3.2设f,Ij满足条件(B1)-(B3), 若脉冲测度泛函微分方程(1)的平凡解y≡0是积分稳定的, 则存在一个相对于脉冲测度泛函微分方程(1)的李雅普诺夫泛函U:[t0,+∞)×S→R满足

(a)存在一个连续递增函数a:R+→R+满足a(0)=0, 使得对所有的ψ∈S,t∈[t0,+∞)有

U(t,ψ)≤a(‖ψ‖)

(b)对所有的t∈[t0,+∞),U(t,0)=0.

(c)函数[s-r,+∞)t→U(t,yt(s,ψ))沿方程满足初始条件ys=ψ的每个解y:[s-r,+∞)→Rn是不增的.