杨凯

摘 要：数列是特殊的函数，也是高中数学的重点和难点，教学的首要目标是向学生传授其基本的规律和两种最基础的数列模型，而其难点在于如何求解数列通项、数列求和以及数列的综合问题，在解决这些问题的过程中，数学思想方法起到了很大的作用. 对于今天的新课程数列教学而言，笔者认为数列知识最重要还是要站在思想方法的角度去渗透教学的精髓，因此本文将通过案例实际进行层层分析，对数列问题用数学思想方法进行结合教学，才能使学生对其理解透彻，真正明白为什么要学习数列？

关键词：数学思想；数列；数学教学

从课程改革来说，新课改实施以来，教师面对高中数学教学的两大难题是：其一教学内容相应增加了（诸如引入大学教材中很多浅显知识：概率、统计、微积分等等超出传统教材范畴的知识），导致数学教学总是课时紧，学生基本功不够扎实，教学多年往往有这样的感受，学生一届比一届基本功下降的多，想想这是什么造成的呢；其二是高考数学的大方向并没有实质性的改变，教师必须要顾及学生的高考成绩，这要求教师对重点知识版块，诸如数列等版块的教学加强整合性教学、高观点下的教学，如何去实现呢？如何来提高重要知识章节的课堂教学的效率呢？不能陷入题海教学的苦恼.

众所周知，数列是一种特殊的函数，也一直是高中数学的重点和难点. 从知识层面来说，数列有很多的基本知识，包含寻找数字之间的规律、了解最基本的数列模型——等差和等比、掌握数列通项的求解方法和求和方法等等，这是学生必须掌握的初级学习目标；从高考应试层面来看，数列的考查也往往不再以单一的知识进行，其注重了各知识之间的衔接和整合的切入，此时我们不能再以题海战术来寻找问题解决的突破口，由此数列教学的高级目标——利用思想方法教学便应运而生. 通过思想方法教学，我们不仅大大提高了教学的效率和有效性，更站在系统的高度理解了数列是一种特殊函数的本质. 本文正是在这样的背景下，结合数列的教学实践例谈思想方法教学的有效性.

数列中的整体思想和函数思想

数列是一种特殊的函数，解决数列问题就一定会涉及函数思想；又整体思想是高中数学各个章节中贯穿始终的数学思想，其主要体现在能否用整体的眼光去看待一个数学问题，尤其是数学公式的重要运用，有些学生在解决数学问题时往往“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，正是因为其没有用整体思想看待数学公式的使用，导致其解决问题寸步难行，比如等差数列求和公式Sn=na1+ d=An2+Bn可用二次函数的观点来看待. 来看一个经典案例：

案例1 （教材习题）等差数列{an}的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n.

分析：（1）Sm+n=a1（m+n）+ d=（m+n）a1+ d，只需求出a1+ d即可，由Sn，Sm可以构造出a1+ d，并求出；（2）利用函数思想，理解等差数列前n项和Sn满足的关系从函数的角度而言，是必过（0，0）点的二次函数，借此突破高效省事.

解析：方法一：设{an}的公差为d，则由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

Sn=na1+ d=m， ①Sm=ma1+ d=n，②

②-①得（m-n）a1+ ·d=n-m，因为m≠n，所以a1+ d= -1，

所以Sm+n=（m+n）a1+ d=（m+n）a1+ d=-（m+n）.

方法二：设Sn=An2+Bn（n∈N*），则Am2+Bm=n，③An2+Bn=m，④

③-④得A·（m2-n2）+B·（m-n）=n-m. 因为m≠n，所以A（m+n）+B=-1，

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

说明：（1）对本数列问题而言，两种解答均用到了数学的整体思想，其中法一把a1+ d看成一个整体，整体思想在解决问题的过程中凸显重要作用，但学生解决往往陷入无目的性的乱解；法二紧紧抓住等差数列求和公式是一种特殊的二次函数这一函数思想，进而在运算中把A（m+n）+B看成一个整体，大大简化了数列的运算量. （2）针对数列整体思想的运用，笔者建议首先要培养学生在公式运算中的整体意识，包括很多数学公式运算中要常常提起整体思想，诸如三角函数公式cos（α±β）的使用、抽象函数的展开化简、向量a-2b模长的运算等等都是整体思想最好的体现. （3）对数列问题中函数思想的运用还可以渗透到等比数列的求和公式，即Sn=A+B·qn且A+B=0，还有诸如an+1=pan+f（n）中的构造必需根据函数f（n）的模型来确定等等.

数列中的分类讨论思想

从思想方法的重要性来说，分类讨论思想是高中数学最重要的思想方法之一，从高一学习数列基本问题开始到高三数列综合性问题的求解等等，无不蕴涵着分类讨论思想. 学生对分类讨论思想的认知，基本停留在浅显的地步，诸如比较明显、常态的、习惯的讨论，而对陌生问题的讨论切入点存在分析不足和认知不够，笔者认为：对分类讨论思想的教学立足两点：其一是对高考常见数列问题的板块进行典型分类讨论的学习和探究，增长学生在常态问题上的熟悉程度；其二是分类讨论教学请学生思考、辨析，为什么要在这样的临界点处进行分类讨论，以提高学生分类讨论的切入点的准确度.

案例2 数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则Sn的前60项和为（ ）

A. 3690 B. 1830

C. 1845？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. 3660

分析：初看本题往往给学生很茫然的感觉：这类型的数列递推并不常见. 站在思想方法的角度而言，教师可以引导学生分析此类递推数列模型，（-1）n是数学基本知识中常见的摇摆模型，因此以n为奇数和偶数进行分类.

解析：由an+1+（-1）nan=2n-1，有：

若n为偶数，则an+1+an=2n-1，an+2-an+1=2n+1，两式相加得an+2+an=4n，

若n为奇数，则an+1-an=2n-1，an+2+an+1=2n+1，两式相减得an+2+an=2，

即相邻两奇数项之和为2，相邻两偶数项an+2与an之和为4n，

于是S60=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a57+a59）+（a2+a4）+…+（a58+a60）

？摇？摇=2+2+…+2+4×2+4×4+…+4×58=15×2+4× ×15=1830.

说明：本题的分类较为明显，但是学生对需要分类的数列接触不多导致其分类思想的缺失. 以分类讨论思想为数列的模型有很多，诸如典型的数列基础问题：若等差数列an=3n-21，求Tn=Σan，以an≥0和an<0作为切入点进行分类讨论.

数列中的构造思想和转化划归

数列中有很多的构造数列求解通项问题，其本质是将一些特殊的数列模型通过构造，即转化划归为基本的等差数列和等比数列进行解决. 这里，笔者要强调构造是一种技巧，也能上升为一种思想方法，转化划归是一种高层次的数学思想方法，将不能解决的数列问题转化为能解决的基本数列模型.来看一个高考题：

案例3 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列.

（1）求a1的值（略）；（2）求数列{an}的通项公式.

分析：由2Sn=an+1-2n+1+1及2Sn-1=an-2n+1（n≥2），可得an+1=3an+2n（n≥2），利用构造解决本递推即可.

解析：运用整体思想，an+1=3an+2n？圯an+1+2n+1=3（an+2n），所以数列{an+2n}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列. 由2a1=a2-3可得，a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），当n=1时，a1=1，也满足该式，所以数列{an}的通项公式是an=3n-2n（n∈N*）.

说明：构造数列求通项是数列知识中的重要技巧和思想，尤其在高考和竞赛数学中有重要的比例. 针对数列构造思想的运用，笔者以探究性学习的方式让学生做了一次尝试，以an+1=pan+f（n）的基本递推数列为模型，进行了探究性学习，笔者和学生一致发现构造思想在此类数列模型中的运用几乎可以称之为通法通解，具有典型的一般性：

（1）形如an+1=pan+f（n），f（n）为一次函数时，

如an+1=pan+bn+c，构造an+1+λn+u=p[an+λ（n-1）+u]，利用待定系数求出λ与u即可；

（2）f（n）为二次函数时，

构造：an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系数求出λ、u与v即可；

（3）f（n）为指数函数时，当an+1=pan+qn时，按等比建构，（i）p=q时，

构造：an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），得：λ=- ，故an- npn是等比数列；

（ⅱ）当p≠q时，构造：an+1+λqn+1=p（an+λqn），得：λ= ，an+ qn是等比数列.

综上，本文从典型问题的角度阐述了数列教学中应该注重的一些数学思想方法. 笔者最后想说，高中数学的很多章节都体现着思想方法教学的重要性，我们不仅要解决基本知识，也要站在思想方法的系统高度帮助学生高效的学习数学、掌握数学、理解数学. 用澳洲华裔数学家陶哲轩的话说：“数学思想方法是一种结晶，是指导我们学习数学的精髓所在，值得研究和深化.”