赵秀芝

（浙江工贸职业技术学院电子工程系，浙江温州325003）

基于L0梯度范数泛函优化和变换域阈值的图像去噪算法*

赵秀芝

（浙江工贸职业技术学院电子工程系，浙江温州325003）

基于L0梯度泛函优化和变换域阈值法的图像去噪算法，首先利用L0梯度泛函的最优化算法把含有噪声的图像分解为显著边缘层和细节纹理细节层，然后对含有噪声的细节纹理层图像进行短时傅利叶转换，并在变换域中利用阈值法分离纹理细节层中的图像细节纹理和噪声，进而去除图像的噪声。实验结果表明图像去噪算法获得了显著的去噪效果。

去噪；变换阈值；图像分解

0 引言

随着数字成像技术的飞速发展，成像设备（如相机）越来越先进，但数字图像却常常在成像的过程中受到设备噪声、周围环境噪声的干扰，以至于图像中含有噪声，为了图像的后续使用，必须对图像进行去噪处理。

目前，图像去噪算法大致分为两类：空间域滤波和变换域滤波。早期典型的图像去噪算法均为空间域滤波算法，如维纳滤波、均值滤波器等典型的线性滤波器。此类线性滤波算法简单却会模糊图像边缘和细节纹理。近年，双边滤波器[1]、L0梯度范数泛函优化[2]等优秀算法被陆续提出。这些去噪算法可以在去噪的同时保留图像主要边缘信息，但却无法在保留对比度较小的细节纹理信息和保留去除噪声之间做出平衡。产生此现象的根本原因在于：在空间域中各图像特征并不能很好的表现出来，如小的细节纹理和噪声。因此，对图像进行空间转换、分析图像特征，再通过阈值的方式去除噪声是另外一个去噪的主要思路。例如，小波阈值算法[3,4]就是通过选择一个适合的阈值，对小波系数进行阈值处理，实现去噪的目的。尽管变换域阈值算法在去噪方面表现出了优越的性能，但却容易在显著边缘处产生振铃现象[5]。

L0梯度范数泛函优化虽然不能有效地分离噪声和图像的细节纹理，但却可将图像的边缘先分离出去，而变换阈值可以在无边缘下有效的去除噪声。可先利用L0梯度范数泛函优化算法把图像的显著边缘先分离出来，余下的混有噪声的细节纹理图像再利用变换域阈值算法对其进行去噪处理，最后合并边缘和细节纹理重构图像。此方法既去除了噪声又避免了振铃现象的产生。

1 图像的去噪算法

假定噪声图像的噪声为高斯白噪，其均值为0，方差为σ2，则噪声图像可表示为：

式中，χ(i,j)表示没有噪声的原始图像，η(i,j)表示噪声。图像去噪的目标就是从噪声图像y(i,j)中去除噪声η(i,j)从而恢复原始图像χ(i,j)。

图1给出本文算法的框图，其中L0GF表示空间域的L0梯度范数泛函优化，用以分解图像的边缘和细节纹理，因而C(i,j)和c(i,j)分别表示分解所得的边缘层图像（即高对比度图像）和细节纹理层图像（即低对比度图像），WTS表示小波变化阈值，c˜(i,j)表示c(i,j)经过小波变化阈值算法去噪后的细节纹理层图像，χ˜(i,j)表示重构的、去噪后的图像。

在图1的图像分解过程中，边缘层图像是直接通过L0梯度范数泛函优化算法计算所得，而细节纹理层图像则是由噪声图像与边缘层图像的相减所得，因此噪声也被分解到细节纹理层图像中。由上述可见，细节纹理层图像上基本都是小对比度的信息，且很多空间特性都具有相似性，而转换阈比较区细节纹理和噪声的特征。因此，利用短时傅利叶转换（STFT）[6]对细节纹理层图像进行转换得小波系数，再利用阈值方法区分噪声和细节纹理，最终从细节纹理中去除噪声，处理之后的两层图像重构得无噪声图像，公式如下所示：

式中，C˜(i,j)表示去噪后显著边缘层图像，在本文中等同于图像C(i,j)。

1.1 L0梯度范数泛函优化

如上文假设所示y(i,j)为噪声图像，C(i,j)表示L0梯度范数泛函优化所得图像，(i,j)表示图像中像素的位置，等同下文用p表示。像素p与其相邻像素在i和j方向的图像梯度可以表示为∇Cp=(∂iCp,∂jCp)，并且在L0梯度范数泛函优化算法中以图像的L0梯度范数为泛函的正则项，如式（3）所示。式（3）中符号#表示统计图像L0范数非零（即||∂iCp+||∂jCp不为零）的个数。最后，通过解式（4）得边缘层图像C(i,j)（具体解法见参考文件[2]）。

1.2 小波变换阈值

经过L0梯度范数泛函分解后，噪声只存在于细节纹理层中，因而利用变化域阈值进一步分离细节信号中的噪声。如上所述，此阶段的处理中本文先利用短时傅利叶转换（short-time Fourier trans⁃form,STFT）[6]把细节纹理层图像由空间域转换到变换域中，再在软阈值算法[3,4]对STFT系数进行阈值处理，以去除噪声。

图1 本文去噪算法框架图

STFT是和傅立叶相关的一种数学转换关系，它是针对傅立叶变换的缺陷，给信号先加窗函数，再进行傅立叶变。由于，固定窗函数的STFT适合平稳信号的分析，而本文的细节纹理层中除了高斯白噪外还具有图像的细节纹理信息，其统计特性会随信号所在的位置有所不同。因此，本根据参考文献[7]思想在STFT中采用一个随信号适应性变化得窗函数，即一个如同双边滤波器、随信号变化的窗函数，具体如下：

式中，下表p表示当前像素位置，Np表示像素p的邻域范围，且范围的半径为r，下表q表示Np邻域内像素位置。cp,q表示细节纹理层信号，f表示STFT域中的频率，wp,q表示窗函数，具体如下：

式中，参数σs和σr分别决定窗口函数的窗口大小和梯度大小，cp和cq分别是细节纹理层图像p和q位置的像素值。

在重构图像之前，本文去噪算法的最后一步是利用软阈值算法对含有噪声的STFT系数阈值处理，通过去除噪声的STFT系数，达到分离噪声的目的，具体操作如下：

2 实验结果与分析

图2给出只用L0梯度范数泛函优化算法和本文算法处理一维信号的效果图。其结果发现：L0梯度范数泛函优化算法可以很好的保留边缘的锐度。由于参数λ控制保留何种对比度于显著边缘层（即大对比度层）中，λ越小则越多小对比度保留在显著边缘层图像中，但也可能存在保留了一些噪声于显著边缘层中的问题（如图2(b)中圈的区域）。因此，在此实验中，取λ为0.004以先保留较大对比度（见图2(c)），使得噪声基本分离到细节纹理层（即小对比度层）中，再使用变换域阈值分离此层中的细节纹理信号，与之前的显著边缘层重构后，其保留的细节进一步增加，如图2(d)所示。图3给出图“Le⁃na”的处理效果，从视觉上看，本文去噪算法在去除方差σ2=25的高斯白噪的同时，保持了绝大多数图像的原有信息；从峰值信噪比（peak sig⁃nal-noise ratio,PSNR）值上看，本文去噪算法处理后图像的PSNR值有了很大程度的提高，说明与原始无噪声图像在相似性上有了改善。

实验中还分别对测试图像加方差为10、20、30和40的高斯白噪，在利用本文去噪算法处理后，分别计算了PSNR和平均结构相似系数（mean struc⁃tural similarity index measure,MSSIM）[8]，如表1所示。由表中数据可见：本文算法去噪的效果图的PSNR值有了很大的改善，且PSNR值增加程度都超过10；此外，在噪声方差小于20时的图像中，重构图像的相似度均达到80%以上；即使噪声方差大于20，甚至为40时，重构图像与原始无噪声图像最少也存在70%以上的相似性。

表1 不同噪声方差下本文去噪算法处理后图像的PSNR和MSSIM值

图2 一维信号去噪比较

图3 参考图像、噪声图像和去噪算效果图

3 结论

本文将L0梯度范数泛函优化与STFT变换阈值相结合，在利用L0梯度范数泛函优化算法分层，使主要的边缘信息保留在显著边缘层上，只对含噪声的细节纹理层利用STFT变换阈值去除噪声。此算法一方面克服L0范数泛函优化算法无法很好平衡去噪和保留小细节纹理的问题，另一方面克服变换域阈值算法直接去噪会在显著边缘处产生振铃的问题。最后，通过实验证实本文提出的图像去噪算法获得较好的去噪效果。此外，实验也显示去噪的效果会受到噪声程度的波动，这也是未来需要改善的方向之一。

[1]Durand F,Dorsey J.Fast bilateral filtering for the display of high-dynamic-range images[J].Acm Transactions on Graphics,2002, 21(3):257-266.

[2]Xu L,Lu C W,Xu Y,et al.Image Smoothing via L-0 Gradient Minimization[J].Acm Transactions on Graphics,2011,30(6).

[3]Chang S G,Yu B,Vetterli M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Trans Image Process, 2000,9(9):1532-1546.

[4]Donoho D L.De-noising by soft thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627.

[5]Shafri H Z M,Mather P M.Wavelet Shrinkage in Noise Removal of Hyperspectral Remote Sensing Data[J].American Journal of Ap⁃plied Sciences,2005,2(7):1169-1173.

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[7]Dabov P,Foi A,Katkovnik V,et al.A nonlocal and shape-adaptive transform-domain collaborative filtering[C]//Proc.Int.Work⁃shop on Local and Non-Local Approx.in Image Process..Lausanne,Switzerland,2008:1-8.

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（责任编辑：王本轶）

Image Denoising Algorithm Based on L0 Gradient Minimization and Threshold Shrinkage

ZHAO Xiu-Zhi
（Department of Electronic Engineering,Zhejiang Industry&Trade vocational College,Wenzhou,Zhejiang,325003,China）

An image denoising algorithm based on L0 gradient minimization and threshold shrinkage was proposed in this paper. In this algorithm,the L0 gradient minimization algorithm was firstly used to decompose the noisy image into the large-scale edge layer and the fine-scale texture layer and then noises in the fine-scale texture layer was denoised by a threshold shrinkage algorithm on the short-time fourier transform space.The experiment results show that the proposed image denoising algorithm achieves significant improvement in its performance.

denoising;threshold shrinkage;image decomposition

TP391

A

1672-0105（2014）01-0036-04

10.3969/j.issn.1672-0105.2014.01.008

2014-02-16

2013浙江省高等教育课堂教学改革研究项目（kg2013836）

赵秀芝(1978-)，女，浙江苍南人，讲师，硕士，主要研究方向：电子信息信号处理、图像彩色视觉模型。