董井成，戴 丽

（1.东南大学 数学系，南京210096；2.南京农业大学 工学院，南京210031）

目前，关于有限维半单Hopf代数的分类研究已取得许多结果.设p，q，r是不同的素数.p维、p2维、p3维和pq维半单Hopf代数已被完全分类［1－4］.特别地，Etingof等［5］用Fusion范畴的方法完成了pq2维和pqr维半单Hopf代数的分类；董井成等［6－9］给出了p2q2维和pq3维半单Hopf代数的结构和分类.文献［6］研究了pq3维半单Hopf代数的结构，其中p，q是满足条件p＞q3的素数，证明了此类Hopf代数或者是半可解的，或者同构于Radford双积R＃A，其中：A是q3维半单Hopf代数；R是左Yetter－Drinfeld模范畴Y D中的p维半单Hopf代数.

本文研究pq3维半单Hopf代数的结构，证明了文献［6］的结论可被推广到p＞q2的情形，且本文的证明包含了文献［6］的情形.本文仅在一个特征为零的代数闭域k上讨论问题.本文所有模和余模都是k上的有限维左模和左余模，⊗k和dimk简记为⊗和dim.Hopf代数的符号和性质参见文献［10］.

1 预备知识

假设T是k上的有限维半单Hopf代数.设V是一个T－模.定义V的特征标x＝xV∈T＊为〈x，h〉＝trV（h），∀h∈T.定义x的次数为deg x＝〈x，1〉＝dimV.平凡T－模的特征标是余单位ε.用符号Irrt（T）表示T所有t次不可约特征标的集合，即所有t维单模的特征标.

设Irr（T）表示T所有互不同构的不可约特征标的集合，则Irr（T）可以张成T＊的一个子代数［4］，称为T的特征标代数，用R（T）表示.对极S可以导出一个反代数对合＊：

如果R（T）的子代数S可由T的不可约特征标张成，则称S为R（T）的标准子代数.因此，如果B是Irr（T）的一个子集，则B可以张成R（T）标准子代数的充分必要条件是：B中任意两个特征标的乘积仍可分解为B中特征标的和.由文献［11］中定理6的对偶情形可知，在R（T）的标准子代数与T的商Hopf代数之间存在一一对应关系.

T＊的类群元集合G（T＊）通过左乘（或右乘）作用在集合Irrt（T）上.任取x∈Irrt（T），记x在该作用下的稳定化子为G［x］.它是G（T＊）的子群，并且阶数不超过（deg x）2.特别地，g∈G［x］的充分必要条件是g在xx＊的分解中，并且重数为1［11］.因此，可得如下分解式

其中m（y，xx＊）表示y在xx＊分解中的重数.

引理1［12－13］设x是T 的不可约特征标，则：

1）x稳定化子G［x］的阶数整除（deg x）2；

2）类群元集合G（T＊）的阶数整除n（deg x）2，其中n是非同构的deg x次不可约特征标的个数.

如果d1＝1＜d2＜…＜ds是所有单T－模的维数，ni是非同构的di维单T－模的个数，则称T具有代数型（d1，n1；…；ds，ns）.如果对偶 Hopf代数T＊具有代数型（d1，n1；…；ds，ns），则称T 具有余代数型（d1，n1；…；ds，ns）.如果T 具有代数型（d1，n1；…；ds，ns），则T 同构于一组全矩阵代数的直积：

设A是有限维 Hopf代数.对于A的 Hopf子代数B，如果a1BS（a2）⊆B或S（a1）Ba2⊆B，∀a∈A，则称B是正规的Hopf子代数.如果A不含有真的正规Hopf子代数，则称其为单Hopf代数.易验证A是单Hopf代数当且仅当A＊是单的.

引理2 设π：A→是余正规的商Hopf代数.假设dim是可以整除dimA的最小素数，则有

其中Z（A＊）表示A＊的中心.

命题1 设q是一个素数.如果T有代数型（1，q2；q，m；…），其中q不能整除m，则T＊有一个维数≥2q2的Hopf子代数K，且kG（T＊）是K的一个正规Hopf子代数.

设C是T＊包含xq的q2维单子余代数，则

由文献［14］中命题3.2.6知，G（T＊）是K∶＝k［C］的正规Hopf子代数，其中k［C］表示由C生成的子代数.易验证K 是T＊包含kG（T＊）的 Hopf子代数.由于K 由C 生成并包含kG（T＊），故dim K≥2q2.

设π：T→B是Hopf代数同态，考虑其余不变子空间：

则由文献［15］知，余不变子空间Tcoπ是T在左伴随作用下稳定的左余理想子代数，并且

综合文献［14］的1.3节可得：

引理3 设π：T→B是Hopf代数同态，A是满足条件A⊆Tcoπ的T的Hopf子代数.则dimA整除dimTcoπ.

类似于可解群的定义，可给出半可解Hopf代数的定义.如果存在一条Hopf子代数的链

则称T为下半可解的，其中对任意的i，Ti＋1是Ti正规的Hopf子代数，且所有的商Hopf代数Ti／TiT＋i＋1都是平凡的.这里平凡的含义是指这些Hopf代数同构于群代数或对偶的群代数.如果存在一条Hopf商代数的链

由文献［16］中推论3.3可知，T是上半可解的当且仅当T＊是下半可解的.此时，T可以通过多次扩张由平凡的Hopf代数构造.如果T是上半可解的或下半可解的，则称其为半可解的.

命题2［8］设T是pq3维半单Hopf代数，其中p，q是不同的素数.如果T不是单Hopf代数，则它是半可解的.

R＃A具有如下性质：设T是一个有限维Hopf代数并带有Hopf代数同态ι：A→T和π：T→A.如果πι：A→A是一个Hopf代数同构，则左余理想子代数R＝Tcoπ具有A 上自然的Yetter－Drinfeld Hopf代数结构，并且R＃A→T可导出一个Hopf代数同构.

用D（T）＝T＊cop▷◁T表示T的Drinfeld偶，作为向量空间D（T）即为T＊cop⊗T，是一个具有特殊结构的Hopf代数［10］.由文献［19］中命题9和命题10可得：

定理1 设T是一个有限维Hopf代数，则：

2）D（T）＊的每个类群元都具有形式g⊗η，其中：g∈G（T）；η∈G（T＊）.进一步，g⊗η∈G（D（T）＊）当且仅当η▷◁g在D（T）的中心内.

推论1 设T是一个有限维Hopf代数，G（D（T）＊）是一个非平凡的群.如果G（D（T）＊）包含元素g⊗η，其中g和η的阶数不同，则T和T＊均有一个非平凡的中心类群元.特别地，T不是单Hopf代数.

证明：假设1≠g∈G（T），否则η∈G（T＊）将是T＊一个非平凡的中心类群元.类似地，可以假设ε≠η∈G（T＊）.设g的阶数是n，则

即ηn▷◁1在D（T）的中心.因此，ηn是T＊一个非平凡的中心类群元.类似地，可证明T也含有一个非平凡的中心类群元.

2 主要结果

考虑分解式（2），易见当q2＜p＜q3时，单T－模的维数只能是1，q，q2或p，而当p＞q3时，单T－模的维数只能是1，q，q2或q3.因此，可得：

其中a，b，c均为非负整数.

由 Nichols－Zoeller定理［12］知，G（T＊）的阶整除dimT.

引理4 如果q2＜p＜q3，则G（T＊）的阶数不可能是q和pq；如果p＞q3，则G（T＊）的阶数不可能是p，q和pq.

1）T不是单Hopf代数；

设x是一个p次不可约特征标.显然，G［x］≠｛ε｝，否则由式（1）知，xx＊的分解将会导出矛盾p2＝1＋mp，其中m 是某个正整数.即G［x］＝G（T＊）.进一步，由文献［14］中引理2.1.4知，G［x＊］＝G（T＊）.因此，设C是包含x的T＊的单子余代数，则由文献［14］中注3.2.7知，C／C（kG（T＊））＋是一个余交换的余代数.再由文献［14］中推论3.3.2知，余代数T＊／T＊（kG（T＊））＋是余交换的.

命题3 设T具有代数型（1，q2；q，m；…）且q不整除m，则：

1）如果T具有余代数型（1，q2；q，n；…）且q不整除n，则T或者不是单的，或者同构于Radford双积R＃A，其中A是q3维的非平凡自对偶半单Hopf代数；

3）如果p≠1（mod q），则T不是单Hopf代数.

证明：由命题1，T＊有一个维数≥2q2的Hopf子代数K，且K包含kG（T＊）作为其正规Hopf子代数.根据 Nichols－Zoeller定理［12］dim K 整除dimT＊，故dim K＝pq3，pq2或q3.

如果dim K＝pq3，则K＝T＊.由于kG（T＊）在T＊中是正规的，故T＊不是单Hopf代数，从而T不是单Hopf代数.如果dim K＝pq2，则由文献［21］中主要结论知T＊也不是单Hopf代数.如果dim K＝q3，则K 具有余代数型（1，q2；q，q－1）.

下面考虑由包含关系K⊆T＊导出的Hopf代数同态π：T→K＊.由dim Tcoπ＝p，如果存在1≠g∈G（T）满足g∈Tcoπ，则群代数k〈g〉包含在Tcoπ中，其中〈g〉表示由g生成的循环群.这是因为Tcoπ是T的子代数，其中元素的乘积具有封闭性.由于dimk〈g〉不整除dim Tcoπ，故与引理3矛盾.因此，作为T的左余理想，有分解：

其中Ui，Vj和Wk分别是T的q维，q2维和q3维不可约左余理想.当q2＜p＜q3时式（5）中的Wk不存在.

1）如果T具有给定的余代数型，则T或者不是单Hopf代数，或者有一个q3维的Hopf子代数A，且A 具有余代数型（1，q2；q，q－1）.

一方面，根据A和Tcoπ分解成不可约左余理想直和的分解式，有

其中n是非负整数.另一方面，由文献［14］中引理1.3.4知，

因此，n＝0，A∩Tcoπ＝k1.从而π：A→ K＊是一个 Hopf代数同构.由 Radford投射定理［18］，T≅Tcoπ＃A是一个Radford双积.由同构及A和K的余代数型知，A是非平凡的.因此，A是自对偶的，并且是文献［3］中构造的某个半单Hopf代数.

2）通过分析易得kG（T）∩Tcoπ＝k1.因此，作为Hopf代数，kG（T）同构于K＊.于是，由Radford投射定理［18］知，T≅R＃kG（T）是一个Radford双积.

3）如果p≠1（mod q），则分解式（5）不可能成立，因而T不是单Hopf代数.

1）T或者不是单Hopf代数，或者同构于Radford双积R＃A，其中A是q3维的半单Hopf代数；

2）如果p≠1（mod q），则T不是单Hopf代数.

综上，本文在p＞q2的假设下考察了G（T＊）的每个可能阶数.因此结合命题2，可得本文的主要结果：

定理2 设T是一个pq3维半单Hopf代数，其中p，q是满足条件p＞q2的素数，则T或者是半可解的，或者同构于Radford双积R＃A，其中：A是q3维半单Hopf代数；R是左Yetter－Drinfeld模范畴Y D中的p维半单Hopf代数.

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