王 尧，沈 青，任艳丽

（1.南京信息工程大学 数学与统计学院，南京210044；2.南京晓庄学院 数学与信息技术学院，南京211171）

本文所讨论的结合环均假设有单位元1，α是给定环R 的自同态，且满足α（1）＝1.对任意的a，b∈R，如果ab＝0，有ba＝0，则称环R是可逆环［1］.对任意的a，b，c∈R，如果abc＝0，有acb＝0，则称环R是对称环［1］.对任意的a，b∈R，如果ab＝0，有aRb＝0，则称环R是半交换环［1］.对任意的a，b∈R，如果ab＝0，有bα（a）＝0（α（b）a＝0），则环R 称为右（左）α－可逆的.对任何a，b∈R，如果ab＝0，有aRα（b）＝0（α（a）Rb＝0），则环R称为（左）α－半交换环.对任意的a，b，c∈R，如果abc＝0，有acα（b）＝0（α（b）ac＝0），则称环 R 是右（左）α－对称的［2］.对任何a，b∈R，如果aα（b）＝0（α（a）b＝0），有bα（a）＝0（α（b）a＝0），则该环称为右（左）α－shifting环.文献［3－4］研究了α－可逆环和α－半交换环；文献［5］研究了具有可逆自同态的环.本文研究具有半交换自同态的环（即α－sc环，它是半交换环概念的推广），讨论α－sc环和相关环的关系，并给出了α－sc环的一些扩张性质.

1 α－sc环与相关环

定义1 设α是环R 的自同态.对任何a，b∈R，如果α（a）b＝0（aα（b）＝0），有aRα（b）＝0（α（a）Rb＝0），则称α是（左）半交换的.如果R有（左）半交换自同态α，则称环R是（左）α－sc环.如果环R既是α－sc环又是左α－sc环，则称R为双边α－sc环.

显然，当α＝IdR时，单边IdR－sc环是半交换环，其中IdR表示R的恒等同态.

例1表明，当α≠IdR时，α－sc环未必是半交换环.

例2 1）令ℤ2＝ℤ／（2），考虑环R＝ℤ2⊕ℤ2和R 的自同构α：R→R，α（（a，b））＝（b，a）.由文献［3］中例2.3知，R不是α－半交换环.对任何A＝（a，b），B＝（c，d）∈R，若α（A）B＝0，则ad＝0，bc＝0，于是有ACα（B）＝0，∀C＝（m，n）∈R，故R是α－sc环.

2）考虑域F上的多项式环R＝F［x］和R的自同态α：R→R，α（f（x））＝f（0），f（x）∈R.由文献［3］中例2.5（2）知，R 是α－半交换环.取f（x）＝x，g（x）＝a≠0，r（x）＝b≠0∈R，有α（f（x））g（x）＝0，但f（x）r（x）α（g（x））≠0，故R 不是α－sc环.

例2表明，α－半交换环与α－sc环也是相互独立的概念.

命题1 设R是可逆环，α是环R的自同态，则R是α－sc环当且仅当R是左α－sc环.

证明：必要性.已知R是可逆环，对∀a，b∈R，若aα（b）＝0，则α（b）a＝0.由R是α－sc环知bRα（a）＝0，bα（a）＝0.对∀r∈R，rbα（a）＝0，从而α（a）rb＝0，故R是左α－sc环.

充分性.已知R是可逆环，对∀a，b∈R，若α（a）b＝0，则bα（a）＝0.由R是左α－sc环知α（b）Ra＝0，α（b）a＝0，对∀r∈R，α（b）ar＝0，从而arα（b）＝0，故R是α－sc环.

对任何a∈R，若aα（a）＝0，有a＝0，则环R称为α－rigid环［6］.由文献［7］中命题5知α－rigid环是约化环（半交换环）；由文献［3］中定理2.4知每个α－rigid环都是α－半交换环，但反之不成立.

命题2 设α是环R的自同态，则下列结论等价：

1）R是α－rigid环；

2）R是α－sc环，且由aRα（a）＝0可推出a＝0，∀a∈R；

3）R是左α－sc环，且由α（a）Ra＝0可推出a＝0，∀a∈R.

证明：1）⇒2）.对a，b∈R，若α（a）b＝0，则α（ba）ba＝0.由R 是α－rigid环知ba＝0，于是aα（b）α（aα（b））＝aα（ba）α2（b）＝0，从而aα（b）＝0.由α－rigid环是半交换环可得aRα（b）＝0，故R 是α－sc环.另一方面，对任意的a∈R，若aRα（a）＝0，则aα（a）＝0，再由R是α－rigid环知a＝0.

2）⇒1）.已知2）成立，对∀a∈R，若α（a）a＝0，由R是α－sc环知aRα（a）＝0.根据已知条件有a＝0，故R是α－rigid环.

1）⇔3）.类似可证.

推论1［1］环R是约化环当且仅当R是半素环和半交换环.

证明：令α＝IdR，根据命题2可得.

命题2中2）的条件“aRα（a）＝0可推出a＝0，∀a∈R”不是多余的.事实上，例2中1）R是α－sc环，但对0≠a＝（1，0）∈R有aRα（a）＝0，R不是α－rigid环.

定理1 设α是环R的自同态，则下列结论成立：

1）如果R是α－sc环，则α是环R的单同态；

2）如果α2＝IdR，则R是α－sc环当且仅当R是半交换环；

3）如果α是环R的单同态，R是半交换环和α－半交换环，则R是α－sc环.

证明：1）对∀a，b∈R，设α（a）＝α（b），α（a－b）＝0，由R 是α－sc环知，（a－b）Rα（1）＝0，（a－b）α（1）＝0，从而a＝b，故α是单同态.

2）必要性.对∀a，b∈R，设ab＝0，则α（ab）＝α（a）α（b）＝0.由R是α－sc环知aRα2（b）＝0，于是aRb＝0，因此R是半交换环.

充分性.对∀a，b∈R，设α（a）b＝0，则α（α（a）b）＝α2（a）α（b）＝aα（b）＝0，由R 是半交换环知aRα（b）＝0，故R是α－sc环.

3）设α（a）b＝0，∀a，b∈R，由于R是α－半交换环，故α（a）Rα（b）＝0，α（a）α（b）＝0，从而

由α是单同态知aα（b）＝0，故aRα（b）＝0，因此R是α－sc环.

命题3 设R是可逆环，α是环R的自同态，则下列结论等价：

1）R是α－sc环；

2）对R 中的任意非空子集B，α（rR（α（B）））⊆rR（B）；

3）∀r∈R，α（rR（α（r）））⊆rR（r）；

4）对R中的任意非空子集A，B，α（A）B＝｛0｝⇔ARα（B）＝｛0｝.

证明：1）⇒2）.已知R是α－sc环，对a∈α（rR（α（B））），有c∈R，使得a＝α（c），α（B）c＝0.于是对任何b∈B，有α（b）c＝0.由R是α－sc环知bRα（c）＝0，即bRa＝0，从而有ba＝0.所以a∈rR（B），于是α（rR（α（B）））⊆rR（B）.

2）⇒3）和4）⇒1）显然成立.

定理2 设α是环R的自同态，则下列结论成立：

1）如果R是α－sc环，且α（e）＝e，e2＝e∈R，则R和R［x；α］都是Abel环；

2）如果R［x；α］是可逆环，则R是双边α－sc环.

证明：1）若α（e）＝e，e2＝e∈R，则有α（e）（1－e）＝0，α（1－e）e＝0.由R是α－sc环知

于是对任何r∈R，有er（1－e）＝0，（1－e）re＝0，即er＝ere＝re，表明R是 Abel环.由文献［5］定理2.9中（1）知R［x；α］也是 Abel环.

2）对∀a，b∈R，如果aα（b）＝0，取p（x）＝ax，q（x）＝bx∈R［x；α］，则有p（x）q（x）＝aα（b）x2＝0.由R［x；α］是可逆环知q（x）p（x）＝bα（a）x2＝0，因此bα（a）＝0，rbα（a）＝0，∀r∈R.从而由R 是可逆环知α（a）rb＝0，因此R是左α－sc环.又由命题1知R是α－sc环.

命题4 约化的α－Armendariz环是双边α－sc环.

证明：由文献［8］知约化的α－Armendariz环是α－rigid环，又由命题2知α－rigid环是双边α－sc环.

命题5 设α是环R的自同态.如果由aRα（a）＝0可推出a＝0，∀a∈R，则下列结论等价：

1）R是约化的α－Armendariz环；

2）R是双边α－sc环；

3）R 是（左）α－sc环；

4）R是α－rigid环；

5）R［x；α］是约化环；

6）R是约化环.

证明：1）⇒2）.由命题4可知.2）⇒3）和5）⇒6）显然.3）⇒4）由命题2即得.4）⇒5）由文献［9］中命题3可知.4）⇒1）由文献［7］中命题6可得.6）⇒4）由文献［5］中命题2.12可得.

命题6 设R是约化环，则R是右α－shifting环当且仅当R是α－sc环.

证明：必要性.对∀a，b∈R，设α（a）b＝0，由R是约化环知bα（a）＝0.对∀r∈R，bα（a）α（r）＝bα（ar）＝0.由于R是右α－shifting环，有arα（b）＝0，故R是α－sc环.

充分性.对∀a，b∈R，设aα（b）＝0，则α（b）a＝0.因为R是α－sc环，所以bRα（a）＝0，bα（a）＝0，故R是右α－shifting环.

2 α－sc环的扩张

设α是环R 的一个自同态，I是R 的一个子环（理想）.如果α（I）⊆I，则称I为R 的α－子环（理想）.

命题7 设R是环，α是环R的自同态，则下列结论成立：

1）α－sc环的任意α－子环也是α－sc环；

给定环R和双模RMR，R通过M 的平凡扩张定义为T（R，M）＝R⊕M，其运算是通常的加法和如下的乘法：

命题8 设α是约化环R的自同态.如果R是α－sc环，则T（R，R）也是环.

推论2［10］设R是约化环，则T（R，R）是半交换环.

命题9 设R是约化环，α是环R的自同态.如果R是α－sc环，则S3（R）也是环.

已知R是约化环，由式（1）知a2α（a1）＝0.由式（2）可得

于是α（b1）a2＝0，α（a1）b2＝0.同理，由式（4）可得α（a1）d2＝0，α（d1）a2＝0.再由式（3）可得

从而α（c1）a2＝0，α（a1）c2＋α（b1）d2＝0.又因为

故α（a1）c2＝0，α（b1）d2＝0.已知R 是α－sc环，有

推论3［1］设R是约化环，则S3（R）是半交换环.

命题10 设R是Armendariz环，α是环R的自同态，则下列结论等价：

1）R是α－sc环；

2）⇒1）显然.

命题11 设α是环R的自同态，则下列结论成立：

1）如果R是可逆环，I是R的α－rigid理想，R／I是环，则R是α－sc环；

2）如果对R的任何中心幂等元e有α（e）＝e，则eR和（1－e）R是环当且仅当R是环.

2）充分性.根据命题7中（1）可知.

必要性.已知eR和（1－e）R是¯α－sc环，对∀a，b∈R，若α（a）b＝0，则有

于是有

因此

即R是α－sc环.

定理3 设α是约化环R的自同态，则R是α－sc环当且仅当R［x］／〈xn〉是环，其中〈xn〉是由xn生成的理想，n为任何正整数.

将式（5）左乘α（α（b0））得α（α（b0）ak）b0＝0.由R 是α－sc环知

由R是约化环知α（b0）ak＝0，因为R 是α－sc环，所以b0Rα（ak）＝0，b0α（ak）＝0，从而α（ak）b0＝0，akRα（b0）＝0.于是，式（5）可变为

将式（6）左乘α（α（b1））同理可得α（ak－1）b1＝0，ak－1Rα（b1）＝0.于是式（6）可变为

命题12 设α是环R的自同构，如果Δ是由R的中心正则元构成的乘法封闭子集，且α（Δ）⊆Δ，则R是α－sc环当且仅当Δ－1R是环.

证明：充分性.根据命题7中（1）可知.

于是α（a）b＝0.由R是α－sc环知aRα（b）＝0.对任何C＝w－1c∈Δ－1R，其中c∈R，w∈Δ，有

即Δ－1R是环.

推论4 设α是环R的自同态，则R［x］是环当且仅当R［x；x－1］是环.

证明：设Δ＝｛1，x，x2，…｝，则Δ是由R［x］的中心正则元构成的乘法封闭子集，R［x；x－1］＝Δ－1R［x］，由命题12即得结论.

定理4 设α是环R的自同构，R是对称的右Ore环，Q（R）是R的经典右商环，则R是α－sc环当且仅当Q（R）是环.

证明：充分性.根据命题7中（1）可知.

从而α（a）b1＝0.由R是对称环知

于是，对∀c∈R，有

从而

进而

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