赵亚男，王 宇，夏 兰，张晓颖

（1.长春大学 理学院，长春130022；2.长春汽车经济技术开发区第四中学，长春130011；3.吉林交通职业技术学院 基础部，长春130012）

0 引 言

流行病动力学通过疾病内在规律的分析预测疾病的发展趋势，给出最优控制策略.当种群中存在传染病时，经典的传染病模型（SIS模型）引入隔离后，总种群（N）分为易感个体组成的子种群（S）、已染病但未隔离个体组成的子种群（I）和已染病并被隔离个体组成的子种群（Q）三类.设被隔离者恢复后也不具有免疫力，此时相应的传染病模型称为SIQS模型.具有隔离项的传染病模型［1］为

其中：A，μ，β是正常数；γ，ε，δ和α是非负常数；A是单位时间内因出生和移民而进入易感染者S类的数量，简称输入率；μ是死亡率系数；β是双线性疾病发生率系数；γ和ε分别是从染病者类I和隔离者类Q到易感类的恢复系数；δ是隔离率系数；α是因病死亡率系数.系统（1）的基本再生数是R0＝Aβ／（μ（γ＋δ＋μ＋α））.

目前，研究随机传染病模型多数都引入参数扰动［2－4］，通过给出平衡点附近的渐近行为反映疾病的灭绝与流行.文献［5］则通过对整个系统加入随机扰动的方法研究随机传染病模型，并分析得到了即使确定性系统各变量是持久的，而随机系统却终将灭亡.

本文采用类似于文献［5］的方法，通过对系统引入白噪声干扰，得

其中：Bi（t）（t≥0）是独立的标准Brown运动；表示白噪声的强度；i＝1，2，3.系统（2）一般不存在无病平衡点和有病平衡点.本文主要探讨随机系统在相应确定性系统平衡点附近的动力学行为，在一定程度上反映疾病的流行与消失.当随机系统的扩散项是非退化情形时，给出系统存在平稳分布，具有遍历性.

设X（t）是El（l维Euclid空间）中的一个自治Markov过程，可表示为随机微分方程

假设条件：

（H1）存在具有正则边界Γ的有界区域U⊂El，具有如下性质：

1）在U及其一些邻域内，扩散阵Λ（x）的最小特征值是非零的；

1 正解的存在性和唯一性

定理1 对于任意给定的初值Y（0）＝（S（0），I（0），Q（0））∈ ℝ3＋，系统（2）存在唯一的解Y（t）＝（S（t），I（t），Q（t）），t≥0，并且该解以概率1位于ℝ3＋中.

证明：系统（2）的系数显然满足局部Lipschitz条件，从而系统（2）存在唯一的局部解Y（t）（t∈［0，τe）），其中τe是爆破时间［7］.设k0足够大，使得Y（0）的每个分量都落在区间［1／k0，k0］中.设整数k≥k0，定义停时

由伊藤公式可得

其中

用与文献［8］类似的方法可证结果成立.

2 系统（2）在无病平衡点P0附近的渐近行为

定理2 若R0≤1，且满足假设条件（H2），则系统（2）满足初值为Y（0）∈ℝ3＋的解Y（t）具有性质：

其中：

证明：令x＝S－A／μ.定义V：ℝ3＋→ ℝ＋，

其中

是正常数.利用伊藤公式，可得

其中

当满足条件（H2）时，有r1，r2，r3＞0.将式（6）从0到t积分，并对等式两边取数学期望，可得

注1 定理2表明，当白噪声的强度足够小时，系统（2）的解会围绕系统（1）的无病平衡点震动，且震动大小正比于的大小.即S受白噪声影响越小，系统（2）的解越接近系统（1）的无病平衡点.

3 系统（2）的遍历性

定理3 若R0＞1，且满足条件（H2）及

则对任意的初值Y（0）∈ℝ3＋，系统（2）存在不变分布μ（·），且是遍历的.其中

这里r1，r2，r3如定理2中定义，c1，c2，c3如式（5）定义.

证明：定义V：ℝ3＋→ℝ＋，

利用伊藤公式，可得

其中

这里λ如式（8）定义.由于条件（7）成立，因此椭圆－r1（S－S＊）2－r2（I－I＊）2－r3（Q－Q＊）2＋λ＝0全部位于ℝ3＋中.取U为包含椭圆的邻域，使得⊆El＝ℝ3＋，且当x∈ℝ3＋＼U时，LV≤－K（K是一个正常数），表明假设条件（H1）中2）满足.另一方面，存在使得对所有的（S，I，Q，）∈¯U，ξ∈ℝ3，有表明假设条件（H1）中1）满足.因此，随机系统（2）存在平稳分布μ（·），且是遍历的.证毕.

［1］Herbert H，Ma Z，Liao S.Effects of Quarantine in Six Endemic Models for Infectious Diseases［J］.Mathematical Biosciences，2002，180：141－160.

［2］ZHAO Ya－nan，JIANG Da－qing，O’Regan D.The Extinction and Persistence of the Stochastic SIS Epidemic Model with Vaccination［J］.Physica A，2013，392（20）：4916－4927.

［3］Gray A，Greenhalgh D，Hu L，et al.A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model［J］.Siam J Appl Math，2011，71：876－902.

［4］ZHAO Ya－nan，JIANG Da－qing.Dynamics of Stochastically Perturbed SISEpidemic Model with Vaccination［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，2013：1－12.

［5］Imhof L，Walcher S.Exclusion and Persistence in Deterministic and Stochastic Chemostat Models ［J］.J Differential Equations，2005，217：26－53.

［6］Has’minskii R Z.Stochastic Stability of Differential Equations［M］.Amsterdam：Sijthoff ＆ Noordhoff，Alphen aan Den Rijn，1980.

［7］MAO Xue－rong.Stochastic Differential Equations and Applications［M］.Chichester：Horwood Publishing，1997.

［8］MAO Xue－rong，Marion G，Renshaw E.Environmental Brownian Noise Suppresses Explosions in Population Dynamics［J］.Stochastic Process Appl，2002，97（1）：95－110.