宋宸苇, 柳银萍

（1. 华东师范大学 计算机科学与技术学院, 上海 200062; 2. 华东师范大学 数学科学学院, 上海 200241）

0 引 言

齐次平衡方法是构造非线性演化方程精确解的一种有效方法, 其中假设变换的阶数是通过部分地平衡最高阶项来确定的[1-7], 这就是所谓的齐次平衡原则. 下面以双曲正切方法[8-13]为例, 简要介绍齐次平衡原则.

考虑如下非线性演化方程

1 扩展的齐次平衡原则

在这一章中, 我们仍以双曲正切方法为例来介绍扩展的齐次平衡原则的基本思想和步骤.

考虑非线性演化方程

其中u=u(x1,···,xn,t) .u(k)表示u的所有k阶导数的集合, 比如u(1)={ut,ux1,···,uxn}. 假设

将它们依次代入原方程, 得到了一个关于 t anh(ξ) 的多项式方程, 这个多项式的阶数列表为

基于已有的齐次平衡原则可建立如下阶数方程

来确定阶数m的值, 即忽略了si=sj的情况. 但是, 我们不能否定平衡这些情况的可能性, 因此, 本文将平衡条件重新定义为

• 整数性约束:m∈Z+;

• 平衡性约束:∃i̸=j,sim+di=sjm+dj;

• 最大性约束:∀k̸∈{i,j},sim+di≥skm+dk.

令

平衡点分类示意图如图1所示. 从图1中可以看出, 有三类平衡点.

图 1 平衡点分类示意图Fig. 1 Schematic diagram for the classification of balance points

•B1,B2,B3不满足最大性约束, 它们不是平衡点.

•B4,B5可以由平衡性约束唯一确定, 它们是第一类平衡点.

•B6不能由平衡性约束唯一确定, 但可以由最大性约束确定, 它是第二类平衡点.

•B7,B8及它们右侧的一系列整数点满足上述三个平衡条件, 但我们不能确定它们的上界, 它们是第三类平衡点.

本文提出了一种基于第三类平衡点来确定解的阶数的n阶展开法.

2 n阶展开方法

我……