刘 敏

（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖241000）

0 引 言

设CPn＋p是具有Fubini－Study度量的复n＋p维复射影空间，全纯截面曲率为常数4.设J为CPn＋p的复结构，Mn为CPn＋p的实n维子流形.如果Mn上每点切空间被J变换到自身，则称Mn是CPn＋p的全纯子流形.反之，若Mn上每点的切空间被J变换到该点法空间，则称Mn为CPn＋p的全实子流形.

关于CPn中的全实子流形研究目前已有许多结果［1－3］.沈一兵［4－5］讨论了CPn＋p中全实极小子流形，得到了关于数量曲率、Ricci曲率和截面曲率的Pinching定理：

定理1 设Mn是CPn＋p中紧致全实极小子流形，若

则M全测地.

定理2 设Mn是CPn＋p中紧致全实极小子流形，若Q＞n－2，n≥4，则M全测地.

定理3 设Mn是CPn＋p中紧致全实极小子流形，若

则M全测地.其中：S是M 的第二基本形式模长平方；K，Q分别是M 的截面曲率和Ricci曲率下确界.

本文将上述结果推广到具有常平均曲率的全实子流形，得到如下结果：

注1 当H＝0时，定理4即为定理1.

定理5 设Mn是CPn＋p中的n维具有常平均曲率的紧致全实伪脐子流形，若Mn的Ricci曲率的下确界Q＞n－1＋（n－1）H2，n≥4，则Mn全测地.

关于第二基本形式模长平方S，有：

定理6 设Mn是CPn＋p中的n维具有常平均曲率的紧致全实伪脐子流形，则

定理7 设Mn是CPn＋p中的n维紧致全实伪脐子流形，且Mn的平均曲率为常数，则Mn具有平行平均曲率向量.

1 预备知识

设Mn是CPn＋p中实n维全实子流形，J为CPn＋p的复结构.在CPn＋p上选取局部规范正交标架场：

使得限制于Mn，｛e1，…，en｝与Mn相切，约定各类指标的取值范围为：

用｛ωA｝表示｛eA｝的对偶标架场，则CPn＋p的结构方程为

其中：

这里（JAB）为线性变换J关于｛eA｝的变换矩阵，即

其中In＋p为n＋p阶单位矩阵.

将上述形式限制在M上，则有：

其……