黄景廉， 王 卓

（西北民族大学 电气工程学院，甘肃 兰州 730030）

0 引言

布尔函数在密码系统的设计中有着重要的应用，密码系统的安全性取决于布尔函数的密码学性质，如非线性度、代数次数、相关免疫性、扩散性、线性结构、平衡性、代数免疫性等[1-3]。对布尔函数密码学性质的研究是序列密码、分组密码、Hash函数、数字签名体制、数据加密技术的关键内容，其已成为密码安全问题的一个重要研究领域。 2003年，法国密码学家Nicolas和Wilimeier提出基于线性反馈移位寄存器的代数攻击方法[4]。Courtois和Meier等学者随之提出抵抗代数攻击的布尔函数代数免疫性和代数免疫阶 ()AI f的概念[4]。对布尔函数这一新性质的研究[5]更是当前密码体制安全性研究的热点。

旋转对称布尔函数是密码学中已有良好实际应用的密码学函数，用于某些密码算法，如 MD4、MD5和HAVAL的快速实现中。在1999年由Pieprzyk和Qu提出[6]后一直受到重视，一直在对其进行深入研究[7-15]。文中将对旋转对称布尔函数、旋转对称H布尔函数的平衡性和代数免疫性展开研究，以得出一些有用的结果。

1 预备知识

定义1 设nI+∈，对任意(2)nGF,kI+∈,且,其中：

2次旋转对称H布尔函数已具有扩散性，在后面的讨论中，还会涉及其它次数次的旋转对称布尔函数，故给出如下定义。

2 旋转对称布尔函数的性质

下面讨论旋转对称布尔函数的一个性质。

3) 在旋转对称布尔函数中，存在2次旋转对称平衡H布尔函数。

3) 由式(1)，便有：

又有：

于是由式(4)、式(5)便可推得：

故由式(4)知，存在旋转对称平衡H布尔函数。

进一步还可推出：当 N1> N2，且，则必有只是这种随维数的增大向 2n-1的逼近是很慢的，已无密码学上的实际意义，不再以极限来描述。

推论2 奇数n维2次旋转对称H布尔函数中，存在平衡布尔函数；偶数n维2次旋转对称H布尔函数不是平衡布尔函数。

下面讨论旋转对称布尔函数的代数免疫性。

i

(21)ik

+

由式(7)、式(9)，便知有：

于是

2) 和1) 相似的道理，必有：

故

推论 3 若旋转对称布尔函数 ()f x只由完全纯奇数次布尔函数的和构成，即

3 结语

文中给出了旋转对称布尔函数、完全纯k次布尔函数的定义，讨论了旋转对称布尔函数的性质，给出了相应的证明，得出 2次旋转对称布尔函数对平衡性的相容性、代数免疫阶的结果，这些结果将为进一步深入研究旋转对称布尔函数、旋转对称H布尔函数的相关免疫性、代数免疫性、平衡性、重量分布范围，平衡性、相关免疫性与维数的关系，以及多种密码学性质的相容性等提供方便。

[1] 齐云,刘玉孝.相关免疫函数和Hamming重量之间的关系[J].通信技术,2008,41(12):363-365.

[2] 黄景廉,张椿玲.一次扩散布尔函数的一些密码学性质[J].通信技术,2012,45(03):43-45.

[3] 蔡海,周亮.对AES算法的S盒布尔函数分析[J].信息安全与通信保密,2008(04):77-79.

[4] COURTOIS N, MEIER W. Algebraic Attacks on Stream Ciphers with Linear Feedback[C]//Eurocrypt 2003,Lecture Notes in Computer Science 2656. Berlin:Springer-Verlag,2003:345-359.

[5] 董新锋,张凤荣,谯通旭,等.具有最优代数免疫阶的1阶弹性函数的构造[J].信息安全与通信保密,2010(12):112-115.

[6] PIEPRZYK J,QU C.Fast Hashing and Rotationsymmetric Functions[J].Journal of Universal Computer Science,1999,5(01):20-31.

[7] CUSICK W,STANICA P,MAITRA S.Fast Evaluation,Weight and Nonlinearity of Rotation Symmetric Functions[J].Discrete mathematics,2002,258(1-3):289-301.

[8] STANICA P,MAITRA S.Rotation Symmetric Boolean Functions-count and Cryptographic Properties[J].Discrete Applied Mathematics, 2008(156):1567-1580.

[9] STANICA P,MAITRA S.Construction of Rotation Symmetric Boolean Functions with Optimal Algebraic Immunity[J]. Computer Systems, 2009, 12(03):267-284.

[10] 张鹏,付绍静,屈龙江,等.平衡旋转对称布尔函数的计数[J].应用科学学报,2012,30(01):45-51.

[11] FU S,QU L,LI C,et al.Balanced Rotation Symmetric Boolean Functions with Maximum Algebraic Immunity[J].Information Security,IET, 2011, 5(02):93-99.

[12] 袁书宏,厉晓华,邹池佳.关于旋转对称布尔函数性质之研究[J].浙江大学学报,2011,38(01):55-57.

[13] 熊晓雯,魏爱国,张智军.构造具有良好密码学性质的旋转对称布尔函数[J].电子与信息学报,2011,38(01):55-57.

[14] 王斌,张习勇,陈卫红.一类4次旋转对称布尔函数的汉明重量和非线性度[J].数学学报,2012,55(04):55-57.[15] 董德帅,李超,屈龙江,等.偶变元MAI旋转对称布尔函数[J].国防科技大学学报,2012,34(04):85-89.